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    浅析质数与黎曼ζ函数的关系

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    • Lv.5质子中子
      VIP2
      欧拉

      朋友们,大家好。笔者即将开学,在繁重的学业压力下想来没有太多时间精力,也没有足够的学识去肝深度的黎曼猜想。思来想去,还是决定发这一篇科普性质的文章,从 ζ 函数本身以及 ζ (2) 的计算两个切口去瞧瞧 ζ 函数与素数的关系。希望读者能够谅解,谢谢。

      1、调和级数与质数个数间的关系

      话说欧拉大神一天闲的无聊,想用自己的方法证明质数的个数有无限个,他想到:如果用 p 来表示质数,那就可以构造等比数列浅析质数与黎曼ζ函数的关系,将其求和,就有

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      如果用 浅析质数与黎曼ζ函数的关系表示第 n 个质数,那么对所有浅析质数与黎曼ζ函数的关系求乘积得,

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      由质数的定义我们知道,所有的正整数由 1, 质数,以及质数间的乘积构成。所以,上述计算式的结果是就是分母中包含所有正整数的调和级数,即

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      由于调和级数是发散的,而对于每一个 浅析质数与黎曼ζ函数的关系,都有浅析质数与黎曼ζ函数的关系,所以每个浅析质数与黎曼ζ函数的关系都会收敛到浅析质数与黎曼ζ函数的关系,如果质数只有有限个,那么左式将只有有限个常数相乘,这与调和级数发散的结论不符,因此可以推出,质数有无限个。

      2、欧拉的推广 (该内容参考自妈咪说 Mommy Talk@www.bilibili.com)

      欧拉通过上面的推导得到了如下等式

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      更进一步,他想到,如果以浅析质数与黎曼ζ函数的关系替换浅析质数与黎曼ζ函数的关系,则可以得到

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      于是,欧拉定义,

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      同时,欧拉大神又想到,如果构造浅析质数与黎曼ζ函数的关系,并用浅析质数与黎曼ζ函数的关系减去浅析质数与黎曼ζ函数的关系,就得到

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      上述操作如同一个筛子,把浅析质数与黎曼ζ函数的关系分母中含2的倍数的项筛掉了。对上式用浅析质数与黎曼ζ函数的关系如法炮制,得

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      再用浅析质数与黎曼ζ函数的关系进行操作,得

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      ……

      这项操作有一个形象的名字,叫质数筛。当对所有质数进行上述操作后,,分母中所有质数及其倍数都被筛掉,等式右边只剩下 1 s 这一项,我们

      就得到了大名鼎鼎的欧拉乘积公式

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      3、浅析质数与黎曼ζ函数的关系(巴赛尔问题)的求解及应用

      巴塞尔问题是数学史上一个著名的问题,曾难倒约翰·伯努利、雅各布·

      伯努利等一系列著名科学家,后由欧拉首次给出正确答案。笔者也希望,这个有名的问题为更多人所知。在这里,笔者给出三种解法,都只需要中学的数学基础知识,但是思维难度不一而同,由易到难,请各水平的读者按需取食。

      方法一:对于函数 sin(x) 进行泰勒展开, 有

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      所以,

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      同时,我们又知道,函数 sin(x) 的根是 浅析质数与黎曼ζ函数的关系,所以,我们能得到sin(x) 的另一个形式,即

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      为了使上下两式相等,对比常数项系数,可得

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      将 A 的值带回原式中,可得:

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      对比上式与泰勒展开式的二次项系数,可得

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      解得,

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      法二:复数积分的证明(此法由 Dennis C.Russel 给出)

      考虑积分

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      由欧拉恒等式得:

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      代入上式得,

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      由对数函数性质可将上式变形得,

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      计算可得,

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      对函数 f (x) = ln(1 + x) 进行泰勒展开,可得

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      代入浅析质数与黎曼ζ函数的关系,得

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      所以,

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      由于浅析质数与黎曼ζ函数的关系, 所以上式可变形为

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      而我们知道,

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      我们又推出,

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      因为等式左边是实数,等式右边是纯虚数,所以惟有等式两边都等于 0 等式才可以成立,所以解得,

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      法三:用三角函数的知识求解(此法由 Ioannis Papadimitrion 于 1973年在 American Math Monthly 中给出)

      先证明一个引理:若令浅析质数与黎曼ζ函数的关系,则有

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      证明:

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      令 n = 2m + 1, 则有

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      为以下方程的根

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      由韦达定理得,

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      引理证毕

      同时,由不等式浅析质数与黎曼ζ函数的关系得,

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      所以,

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      化简得,

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系,得,

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      最后,我们来解一道题玩玩,

      若从所有正整数中任取两个,问他们互质的概率?(该问题及解答来自孙健老师的视频,视频地址: 网页链接)

      不妨设所求的概率为 x,两个正整数 m,n 之间的最大公因子是 k,我们来研究 k 的性质,对于在所有正整数中任意抽取出两个数,并且两数

      都是 k 的倍数的概率,我们知道大概是浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      同时,因为

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      所以抽取到两个正整数的最大公因数是 k 的概率是浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      那么,我们就可以得到方程

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      解得,

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      写在最后:短短续续的,笔者终于把自己挖的坑填上了。也相信这篇文章能达到笔者的愿想,从一些角度去侧面窥探 ζ 函数与质数间的关系。其

      实,不经过深挖与思索,很难看出,浅析质数与黎曼ζ函数的关系这个级数会与质数以及圆周率π有千丝万缕的联系。但是,数学之美是上帝早就设计好的,只等待我们去不停的发掘。黎曼 ζ 函数是属于复分析领域的内容,而黎曼大神,也是复分析现代形式的创立者。如果这篇文章能够让读者更多的窥探 ζ 函数与质数的关系,激发读者对于数学的兴趣,那它的目的,也就达到了。

      最后,放一张 ζ 函数美丽的函数图像:

      浅析质数与黎曼ζ函数的关系

      谢谢! [s-70] 

      Lv.5质子中子
      VIP2
      欧拉

      如果读者对文章中的内容有问题,或是对文章排版,语言有意见的欢迎在评论区提出。笔者会尽力的解答,改正。谢谢! [s-28]

      上穷碧落下黄泉

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      Lv.9碳纳米管
      欧拉
      [s-7]

      星台短暂一生,光彩炽烈,壮美无与伦俦。

      回复
      Lv.7原子
      欧拉
      赠送了礼物[赞]
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      Lv.7原子
      欧拉
      相当优秀 [s-14]
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      Lv.15蚂蚁
      VIP4
      门捷列夫
      你被管理员奖励
      奖励金币:10
      奖励理由:内容丰富饱满

      请留言(100%回复)认真聆听|邮箱:bokeyuan@vip.qq.com|QQ:1741539716

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      Lv.15蚂蚁
      VIP4
      🌼春暖花开
      打赏了1金币

      当你凝视星空的时候,群星也在注视着你。

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      打赏了1金币

      跨界认知研究者-探索人文与自然的链接

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      Lv.6伽马射线
      欧拉
      [s-70]
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      Lv.0量子泡沫
      打赏了1金币
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