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    众星拱日,引力为王——从开普勒定律推导万有引力定律

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    • Lv.5质子中子
      欧拉

        中学的教材直接把万有引力定律作为开普勒行星运动定律的结果给出, 而未给出推导的过程,这未免令人感到物理学的知识体系缺失了一块砖瓦。 这篇文章就给大家推导一遍万有引力定律,并就 G 是常数以及定律本身平方反比的数学形式作进一步说明。 

        首先,我们知道,引力来源于中心天体(太阳),因此,引力方向沿行 星与中心天体(太阳)的连线方向指向中心天体(太阳)。所以,我们写出 中心力场的方程

      众星拱日,引力为王——从开普勒定律推导万有引力定律

      (这里我们约定,沿中心天体指向行星方向,即矢径方向为正,反之为负)

      同时,由开普勒第二定律得,

      众星拱日,引力为王——从开普勒定律推导万有引力定律

      众星拱日,引力为王——从开普勒定律推导万有引力定律

      (注:如图所示,当众星拱日,引力为王——从开普勒定律推导万有引力定律近于0时,整个图形可以看作圆弧,则众星拱日,引力为王——从开普勒定律推导万有引力定律

      众星拱日,引力为王——从开普勒定律推导万有引力定律

      又有

      众星拱日,引力为王——从开普勒定律推导万有引力定律

      所以,

      众星拱日,引力为王——从开普勒定律推导万有引力定律

      众星拱日,引力为王——从开普勒定律推导万有引力定律

      由开普勒第一定律得,

      众星拱日,引力为王——从开普勒定律推导万有引力定律

      所以,

      众星拱日,引力为王——从开普勒定律推导万有引力定律

      众星拱日,引力为王——从开普勒定律推导万有引力定律

      所以,

      众星拱日,引力为王——从开普勒定律推导万有引力定律

      则中心力场方程可改写为

      众星拱日,引力为王——从开普勒定律推导万有引力定律

      同时,我们有

      众星拱日,引力为王——从开普勒定律推导万有引力定律

      众星拱日,引力为王——从开普勒定律推导万有引力定律

      由开普勒第三定律得,

      众星拱日,引力为王——从开普勒定律推导万有引力定律

      联立

      众星拱日,引力为王——从开普勒定律推导万有引力定律

      可得

      众星拱日,引力为王——从开普勒定律推导万有引力定律

      众星拱日,引力为王——从开普勒定律推导万有引力定律

      众星拱日,引力为王——从开普勒定律推导万有引力定律

      众星拱日,引力为王——从开普勒定律推导万有引力定律

        由牛顿第三定律得,力的作用是相互的,所以行星间引力不应只与行星质量 有关,也应该与中心天体(太阳)质量有关。所以 k 可以用 GM 代替,其 G 为引力常量,其现代值为 众星拱日,引力为王——从开普勒定律推导万有引力定律

        由此,我们得出了万有引力定律的最终表达式

      众星拱日,引力为王——从开普勒定律推导万有引力定律

        大功告成!!!!!

        这里,就 G 的问题做一点说明,这也是笔者自己的一个问题:从哪里 看得出 G 是一个宇宙普适的常数,而非一个与质量相关的函数?从相对运 动的角度考察行星绕日运动,太阳又何尝不是绕着行星作椭圆运动呢?因 此,若将行星视作中心天体,而将太阳视作行星,我们同样可以得到上述万 有引力的表达式,即

      众星拱日,引力为王——从开普勒定律推导万有引力定律

      为使上下两式相等,所以 G 必须是常数,而非函数。

        最后,就定律平方反比的数学形式作出些粗浅的解释。我们不妨想象一个粒子源S向空间中均匀地发射例子,如下图所示

      众星拱日,引力为王——从开普勒定律推导万有引力定律

      显然,粒子密度与距离的平方成反比。而在量子力学中,力的传递、作用都是通过作用物体间基本粒子的交换而产生的。引力如此,电磁力如此,弱相互作用力以及强相互作用力也是如此。所以,这就解释了为什么万有引力定律会是平方反比的数学形式。其实,不仅仅是引力,电磁力的衰减规律也是如此,甚至生活中司空见惯的光强衰减,声强衰减规律也是如此(不考虑大气密度变化的影响)。平方反比,其实体现的是三维空间的一种性质,它指导着自然界中的种种现象,更激发人类为此孜孜以求,不断探索。

        谢谢! 


      Lv.14变形虫
      VIP4
      居里夫人
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      Lv.10紫外波长
      VIP1
      牛顿
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      帝国江山如画,星空也很美!宇宙传奇、生命之美、人类文明、科技之光!

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      Lv.18人类
      欧拉
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      科学界的老油条

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      Lv.18人类
      欧拉
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      科学界的老油条

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      Lv.18人类
      欧拉
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      科学界的老油条

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      Lv.6伽马射线
      VIP1
      欧拉
      赠送了礼物[棒棒糖]
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      Lv.3顶夸克
      VIP1
      欧拉
      音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科学可改善物质生活,但数学能给予以上的一切。——克莱因
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