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    世界背后的抓手——正态分布

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    • 概率和统计学公式
    • Lv.5质子中子
      欧拉

      正态分布,英文名 normal distribution,意为“正常的分布”,台湾省将其译为“常态分布”。它是如此之“正常”,以致于渗透到我们生活的方方面面。上至九天星河的光度分布,下至气体分子的运动速率,无不服从正态分布。它可以说,是世界背后的抓手之一。为此,我们来进一步了解正态分布。

      世界背后的抓手——正态分布

      话说数学王子高斯在写作《天体运动论》时发现手头上的观测数据存在误差。他想知道误差服从什么样的分布函数,为此展开了下列推导。

      设误差分布的概率密度函数为 f (x), 高斯手中的观测数据分别为

      世界背后的抓手——正态分布

      真实值为

      世界背后的抓手——正态分布

      则出现眼前情况的概率为

      世界背后的抓手——正态分布

      (ps:1、由于眼前已经出现了世界背后的抓手——正态分布这种情况,所以我们认为这种情况出现的概率最大。所以,在之后的数学处理中,我们将千方百计地使得 p 取更大的值。

               2、高斯认为,偶然误差可以通过多次测量求平均值来抵消,即

      世界背后的抓手——正态分布

      我们由生活经验可知其正确性及可靠性。)

      对于函数

      世界背后的抓手——正态分布

      显然,当世界背后的抓手——正态分布 取最大值。则对世界背后的抓手——正态分布取对数,有

      世界背后的抓手——正态分布

      所以,

      世界背后的抓手——正态分布

      世界背后的抓手——正态分布

      则有

      世界背后的抓手——正态分布

      令 i = 2, 得:

      世界背后的抓手——正态分布

      即 g (x) 为奇函数

      同理,令i=3,得:

      世界背后的抓手——正态分布

      若令

      世界背后的抓手——正态分布

      结合g(x)为奇函数的推论,可得

      世界背后的抓手——正态分布

      所以,g (x)满足柯西方程,易得,

      世界背后的抓手——正态分布

      世界背后的抓手——正态分布

      由概率密度函数的性质可知,

      世界背后的抓手——正态分布

      所以,c < 0,

      世界背后的抓手——正态分布

      世界背后的抓手——正态分布

      (为了使思维连贯,这里直接运用了高斯积分世界背后的抓手——正态分布的结论,的结论,其详细推导则放在文末)

      由此可得,

      世界背后的抓手——正态分布

      世界背后的抓手——正态分布

      回到函数 ln(L(x)) 中,则有

      世界背后的抓手——正态分布

      我们要千方百计地使其取到最大值,而就目前的信息来看,只知道 c < 0, 所

      以,不妨将 世界背后的抓手——正态分布视作以 c 为自变量的函数 h(c),则有

      世界背后的抓手——正态分布

      令其为零,可得

      世界背后的抓手——正态分布

      (其中 σ 指标准差)则 f (x) 可改写为

      世界背后的抓手——正态分布

      (请注意,这里的自标量 x 指的是随机误差) 若以 µ 代表观测数据的真实值(平均值)x 0 , 并以 x − µ 替换 x, 那么替换后的自变量 x 即为观测值。到这

      里,就得到了课本中的正态分布表达式

      世界背后的抓手——正态分布

      终于推出了正态分布的表达式,接下来简单地介绍正态分布的一些性质。

      1、正态分布式“正常”的分布,它渗透于我们生产生活的方方面面。工人的生产效率,学生的考试成绩,全国各市的汽车价格分布等等等等,在样

      本容量足够大,代表性足够强时都服从正态分布。基于此,我们可以很方便地估计手头的数据在整体中的地位。比如,某软件测得部分电脑的开机时间,就可以据此建立正态分布的模型,并根据用户的开机时长估计它能战胜全国百分之多少的用户。

      2、正态分布的平均值即为其数学期望。我们知道,数学期望代表的是事件的长期价值,而在正态分布中,平均值即为数学期望。为此,我们经常用平均值,而非极端值衡量整体在某一方面水平的高低。如用平均分衡量学校的教学能力,用平均薪金刻画单位的工薪水平等。当脱离了正态分布的背景后,平均值将失去刻画整体水平高低的能力。例如,比尔·盖茨与九个乞丐组成的集团人均资产超过百亿,这种资产分布显然不符合正态分布,平均值也失去了其衡量整体资产的意义。

      3、在正态分布中,大部分随机变量都集中在平均值 µ 附近,极端数据占比极小

      。这就使正态分布具有很强的稳定性,即抵抗极端数据影响的能力。就比如说,广东省一车主购入一辆劳斯莱斯银魅(15.5 亿),也不会对全省汽车价格的平均值造成很剧烈的影响。

      最后,高斯积分大放送。对于积分

      世界背后的抓手——正态分布

      我们有

      世界背后的抓手——正态分布

      由于 x,y 是在各自的积分空间中积分,没有相互影响,因此上式可作如下变形

      世界背后的抓手——正态分布

      将直角坐标转换到极坐标,则有

      世界背后的抓手——正态分布

      并且,(dx)*(dy) 在直角坐标系中可以指任意该坐标平面中的任意一块面积微元,而在极坐标中,任意一块面积微元的表示方法为 r ∗ dρ ∗ dθ 如下图所示

      世界背后的抓手——正态分布

      接下来是积分上下限的问题,在直角坐标中,x 和 y 的积分上下限分别都是正无穷和负无穷,并对于任意 x 和 y, 都只积了一遍,也就是把整个

      坐标平面扫了一遍。在极坐标中,为了达到同样的效果,则必须 r 的积分上下限分别是正无穷和 0,θ 的积分上下限分别是 2π 和 0。

      因此,我们有

      世界背后的抓手——正态分布

      接下来是运算,

      世界背后的抓手——正态分布

      所以,

      世界背后的抓手——正态分布

      高斯积分放送完毕!!!!!!!!!!!!!

      参考资料:

      1、MATHSING 正态分布的推导 

      参考资料:

      1、MATHSING 正态分布的推导 _哔哩哔哩_bilibili

      2、回到 2049 【2049 日报】S05E352 正态分布_哔哩哔哩_bilibili

      3、蓝德岗的猫 【高斯积分】积分 e ( −x 2 ) 从负无穷到正无穷_哔哩哔哩_bilibili 

      呼,终于写完了,敲这种东西可不轻松呀 [s-4] 

      Lv.7原子
      欧拉
      不管你在研究什么事物,或是在思考任何观点,永远不要相信那些你愿意相信的事情,仅仅去审视,而要多问问自己事实是什么?以及这些事实所证实的真理又是什么?——伯特兰•罗素

      安得广厦天下间,大庇天下寒士俱欢颜,风雨不动安如山!

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      Lv.14变形虫
      VIP3
      欧拉
      打赏了5金币

      请留言(100%回复)认真聆听

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      Lv.5质子中子
      欧拉

      如果文章有什么问题,欢迎在评论区指出。如果对文章内容有什么疑惑,也欢迎在评论区提出,来一起交流学习。 [s-14] [s-1]

      上穷碧落下黄泉

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      Lv.14变形虫
      VIP4
      🌼春暖花开
      打赏了1金币

      当你凝视星空的时候,群星也在注视着你。

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      Lv.5质子中子
      欧拉
      [s-32] [s-32]

      星台短暂一生,光彩炽烈,壮美无与伦俦。

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