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    窥见数学思维:为什么2≠5?

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      哥白尼

      看到这个标题,你是不是整个人都是懵的?

       

      为什么2不等于5?为什么2不等于5你心里没点数么?小学毕业了么?小学数学是体育老师,呸,体育老师也不背这个锅。小学数学是猴子教的么?你咋不问为什么猪不等于鸡呢?

       

      说完了么?如果你说完了,我还是要再问一次:为什么2≠5?您可愿意教我?

      窥见数学思维:为什么2≠5?

      昨天上一篇我还在给你讲《几何原本》,为什么这一篇我要突然讲2≠5呢?

       

      除了在《陪孩子读几何原本(4):误区!千万别把《几何原本》当成了几何习题集》里提了一句以外,最主要的是:这个问题跟《几何原本》的内在逻辑是一样的

       

      如果我在《几何原本》篇里反复强调的“我们做的一切判断和操作都必须从公设、公理、定义中找到合法依据。”还不能引起你的十分注意,或者完全的理解。那我今天希望用这个完全超出你心理预期的“蠢”问题让你彻底意识到这一点。

       

      为什么2≠5是一个严肃的问题呢?

       

      我倒想先问你,为什么你会觉得这个问题不可理喻?你认真想一想,你有什么理由认为2≠5?你证明了吗?你有依据吗?

       

      我前面反复强调,我们做的一切判断都必须从公设、公理、定义中找到根据,你以为这只是《几何原本》的要求么?》不,这是公理化数学的要求

       

      那你再想一想,有哪条公理、公设可以证明2≠5?哦不,可能更多人的问题是:啥,1、2、3、4这样的自然数还要公理?自然数嘛,不是掰一掰手指头就对应的那些数,这些东西还需要什么公理

       

      怎么不需要?

      无公理,不数学

      窥见数学思维:为什么2≠5?

       

      这时候你可能才意识到这个问题严肃在哪。显而易见,大家都承认从公理出发,利用逻辑和演绎推导出其他的命题的方法,确实非常不错,可以保证知识的准确性

       

      而且,不仅几何要这么干,代数也要这么干。凭什么只有几何有这样的公理化的严密体系,代数就不可以?数学偏心?

       

      好,有了这个意识以后,我们再来分析一下这个问:为什么2≠5

      窥见数学思维:为什么2≠5?

      面对这个问题,我们要怎么思考呢?要证明为什么2不等于5,我们首先得搞清楚什么是2,什么是5。也就是说,我们需要知道到底什么才是自然数,我们要如何用数学的语言去刻画自然数

       

      因为公理是数学体系的出发点,所以,我们需要一套公理,一套可以刻画自然数的公理。从这个公理出发,我们可以刻画自然数的各种特性,然后我们才可以证明为什么自然数2不等于自然数5。

       

      刻画自然数的公理有很多,最常见的就是皮亚诺公理。接下来,我们来一起看看皮亚诺公理是如何描述自然数的。

       

      首先,我们我们现在说的自然数,是包括0的,也就是{0,1,2,3,4……}这样一组数。

       

      皮亚诺公理有5条。

       

      公理10是一个自然数

      公理2如果n是一个自然数,那么n++也是一个自然数

       

      我们先看看这前两条公理是啥意思。

       

      公理1说0是一个自然数,也就是说我们默认承认0是一个自然数了,既然公理这样说了,你就不要再问为什么说0是一个自然数了。

       

      公理是数学体系的最底层,如果我有更好的办法证明这个公理,那么这个公理就会变成一个可以从其他公理推出来的定理,它就不是公理了。

       

      公理2说如果n是一个自然数,那么n的后继n++也是一个自然数。

       

      这里的理解会稍微复杂一点,不是那么想当然了。公理2说如果n是自然数,那么n++就是自然数。

       

      那么,根据公理1,0是自然数,所以0的后继0++是自然数。因为0++是自然数,所以(0++)++也是自然数。同样,这个逻辑可以一直继续下去,((0++)++)++肯定也是自然数。

       

      然后,我们就把0++定义为1,(0++)++定义为2,以此类推。

       

      也就是说,在皮亚诺公理体系里,1、2、3这些数字只是(0++)++……的代号,只是用来代替那一大串的一个记号。

       

      有了公理2和这个定义,我们就可以非常容易的证明2、3、4、5都是自然数了。因为0是自然数(公理1),所以1(0++)也是自然数(公理2);因为1是自然数,2(1++)也是自然数,所以,3、4、5……都是自然数。

       

      那么,仅仅依靠公理1和公理2,刻画的一列数就是我们了解的自然数了么?

       

      不行,为什么?

      窥见数学思维:为什么2≠5?

      你看啊,如果仅仅只有公理1和公理2,这样一个数列{0,1,2,0,1,2,0,1,2……}就也是自然数了。

       

      它满足公理1(0是一个自然数)么?满足。它满足公理2(如果n是一个自然数,那n的后继n++也是自然数)么?也满足。

       

      这里,我要特别强调,我们说的n++,只是代表n的后继。也就是在这一列数里,n++排在n的后面而已,并不是n++就是你以为的比n大1,这时候你只有两个公理,你压根就没有什么大于的概念。

       

      你看这个循环数列{0,1,2,0,1,2,0,1,2……},如果我说这叫自然数,那么0是自然数,每一个自然数的后继(反正还是0、1、2其中一个)还是自然数。

       

      它完美符合公理1和公理2,但它并不是我们平常感觉的自然数。所以,只靠公理1和2是不行的,我们还需要增加一些公理对自然数进行更深层的刻画。

       

      于是,我们就有了第3条公理。

       

      公理30不紧跟在任何自然数之后

       

      也就是说,有了公理3,0就不能再跟在任何自然数的后面了,这样就可以避免上面的循环数列了。因为在{0,1,2,0,1,2,0,1,2……}里,0是跟在2后面的,所以它不满足公理3,也就不是自然数列。

       

      0不紧跟在任何自然数后面,也就是说,对于任何一个自然数n,n++≠0均成立

       

      所以,如果n=2,我们就得到了2++≠0,也就是3≠0。我们姑且把这个叫做命题1

       

      也就是说,走到公理3之后,我们才能证明“3≠0”。但是,你还是无法证明“2≠5”,不信你可以试试

      窥见数学思维:为什么2≠5?

       

      好,有了公理1、2、3,我们就能准确的描述自然数了么?

       

      还是不行,因为这几个公理无法排除这样的数列:{0,1,2,3,3,3……}。也就是说,如果自然数的公理只有这3条,那么这种后面都是同一个数的数列无法被排除出去。

       

      因为你看,它显然满足公理1公理2公理3说0不紧跟在任何自然数后面,这个数列里,0只在第一个,确实不在任何其他自然数的后面,也满足。

       

      大家可以想一想,这种增量增加到一定就不增了的数列,你要用什么办法避免它的出现?

       

      要解决这个问题的办法有很多,皮亚诺公理采用的是这样一种简单有效的办法。

       

      公理4对于不同的自然数而言,紧跟在它后面的数字也一定是不同的

       

      也就是说,公理4告诉我们:如果m和n都是自然数,并且m≠n,那么,就一定有m++≠n++。这样,我就可以保证你所有的数列都给我老老实实的增长,不准出现谁谁谁突然涨着涨着就不动了。

       

      还记得在公理3之后,我们证明了”3≠0“(也就是命题1)么?

       

      如果3≠0,那么,根据公理4就有:3++≠0++,也就是4≠1。

       

      再用一次公理4,因为4≠1,所以4++≠1++。因为4++就是5,1++就是2,所以,这就是说5≠2

       

      然后,再看看我们的标题,我们花了这么多篇幅,一直逼出了皮亚诺公理的4个公理,才证明了5≠2,才证明2跟5不相等,才回答了我们题目的问题。

       

      我在把证明5≠2的过程完整地写一次:

       

      因为0是一个自然数(公理1),所以1(0++)也是一个自然数(公理2),2(1++)也是一个自然数(公理2)。

       

      因为2是一个自然数,所以2++≠0,也就是3≠0(公理3)。

       

      因为3≠0,所以3++≠0++,也就是4≠1(公理4)。因为4≠1,所以4++≠1++,也就是5≠2(公理4)。

       

      证毕。

      窥见数学思维:为什么2≠5?

      我们花了这么多篇幅,才完成了5≠2的严格证明。现在你还觉得这个问题很不可理喻么?还认为小学数学老师听到这个会痛心疾首么?

       

      我们费劲心力通过皮亚诺公理来定义自然数,图的是什么?图的就是为了让我们的代数体系也能像《几何原本》那样,只要你承认了最开始的几个不证自明的公理,后面的一切命题都可以从这里推导出来,这样我们可以一样建立一套严密的代数体系

       

      为了保证我们的知识是确定的,我们要用非常严密的逻辑来构造它。因为经验和直觉并不可靠,历史上反直觉的科学进步还少么?

       

      如果我们还停留在一切凭感觉,一切靠直觉的时代,那我的感觉肯定告诉我重的铁球比轻的铁球下落得更快,我的感觉肯定也告诉我是太阳围着地球转,那现代科学就无从谈起了。

       

      文艺复兴以来科学技术上的重大进步,从根本上说就是理性的进步。我们就是依靠这种理性,这种严密的逻辑,而不是感觉,建立起来了牛顿力学,建立起来反直觉的非欧几何,也才有了后面的相对论量子力学

      窥见数学思维:为什么2≠5?

      而西方科学里,这种理性的源头,这种严密的公理化体系的源头,就是《几何原本》。从这种意义上来说,《几何原本》是西方科学精神的源头,所以我们要认真读它,更何况这是一本连小学生都能读懂的书。

       

      几何学通过《几何原本》这种严密的公理化方案获得了巨大的成功,其它各门学科争先效仿,牛顿的《自然哲学的数学原理》就是直接按照《几何原本》的方式写的。

       

      其它学科都这么干了,那么,跟几何一样,同为数学分支的代数自然也要公理化。而自然数是代数的基础,所以才有了自然数的公理,我们今天说的皮亚诺公理,就是其中的一种。

       

      通过皮亚诺公理定义了自然数,自然数的正数取个负号就能定义整数,然后用整数定义有理数,再定义实数复数,这才有了后面的数学大厦。

       

      最后,我一开始的时候说皮亚诺公理有5条,但是我们证明5≠2时只说了4条。还有最后一条叫归纳法原理,我这里也说一下。

       

      公理5(数学归纳法原理)令P(n)表示自然数n的任意一个性质,如果P(0)为真且P(n)为真时一定有P(n++)也为真,那么对于任意自然数n,P(n)一定为真

       

      这个比较长,相对前4个公理要复杂得多,本质上跟前面4个也不一样,我也不准备细说。高中数学里会讲数学归纳法,用数学归纳法的人一定一眼就能看出这是啥意思。

       

      再召唤一波皮亚诺公理的前面4条:

       

      公理10是一个自然数

      公理2如果n是一个自然数,那么n++也是一个自然数

      公理30不紧跟在任何自然数之后

      公理4对于不同的自然数而言,紧跟在它后面的数字也一定是不同的

       

      大家要是对这个感兴趣,可以去看看《陶哲轩实分析》。今天我就讲到这里,希望大家通过对2≠5的证明,对皮亚诺公理的理解,加深对《几何原本》认识。


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