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    如何优雅的称量地球的质量

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    • Lv.6十幺米空洞

       生活中,如果我们想要称量自己或者一个物体的质量,用天平或电子秤就能够知道,那么想要知道地球的质量该怎么办?地球可不能放在秤上称啊!就算阿基米德曾经说过,给我一个支点,我就能撬起整个地球。可他也没有办法称出地球的质量。古往今来,许许多多的力学家、地学家和天文物理学家们都在想办法得出地球的质量。那么,咱们今天就来唠一唠地球质量那点事。

       

      给我一个支点,我就能撬起整个地球

      如何优雅的称量地球的质量

       

      1687年,牛顿的《自然哲学的数学原理》出版,这在科学史上具有里程碑式的意义。在这本书中,牛顿总结和发展了他和之前许多科学家的研究成果,其中就包含了万有引力定律,对于万有引力定律,牛顿是这样说的:“对于一切物体存在着一种引力,它正比于各物体所包含的质量。在两个相互吸引的球体内,如果到球心相等的距离处的物质是相似的,则一个球相对于另一个球的重量反比于两球的距离的平方。”

       

      万有引力定律的确立,成为天文学研究的划时代的事件。之前,天文学研究的主导工具是几何学,而之后天文学研究进入以力学为主导的时代。后来,确定彗星的轨迹和回归周期、海王星和冥王星的发现、小行星的发现和定位等等重要天文学成就,都是在以力学为指引下得到的,而其中起核心作用的理论就是万有引力定律。用公式表示为:

       

      如何优雅的称量地球的质量

       

      其中其中M分别是两个物体的质量;是两物体间的距离,而 是一个常数,称为万有引力常数,为两物体之间的作用力。这里还有一个很重要的问题没有解决,这就是万有引力常数 还是未知的。英国科学家亨利·卡文迪许巧妙地利用实验,利用牛顿的万有引力定律,成为了第一个优雅准确测出地球质量的人。

       

      不过两个普通大小的物体之间,引力是非常非常小的,通常根本察觉不到,距离仅1/4英寸的两个直径为1英尺的铅球,仅靠它们之间的引力,在一个月内也走不到一起。这样微弱的引力,在室内实验是很难测量的。可以想象卡老师测定引力大小和万有引力常量 的值是多么困难。不过卡老师自有他的妙招,就是利用扭秤实验。让我们来看看他是怎么优雅地设计实验,并巧妙地解决这一问题的吧!他用的实验仪器图和简图如下图所示:

       

      如何优雅的称量地球的质量

      如何优雅的称量地球的质量

      现在我们来描述卡文迪许的实验。图中的悬线是镀银铜丝,40英寸长。悬线下面水平悬吊一根轻质的木棒,木棒长度2d为6英尺,木棒两端各固定一个直径2英寸(重1.61磅)的铅球,它们的质量记为m。而用来吸引这两个球的是两个直径为12英寸(重348磅)的大铅球,它们的质量记为M。大球和小球之间的距离 大约为9英寸。整个装置是对称的。

       

      我们来计算一个小铅球 所受的垂直于木棒的力,首先,根据万有引力定律,它受最近的大铅球 的引力是:

       

      如何优雅的称量地球的质量

       

      它还要受对称的另外一个大铅球M’ 的引力,因为那个大铅球距离它是如何优雅的称量地球的质量

       

      所以它受到的引力是:

       

      如何优雅的称量地球的质量

       

      但是,这个力的指向是与木棒斜交的。由于M’m 连线与木棒mm’ 夹角的正弦能够直接得到,即如何优雅的称量地球的质量,因此如何优雅的称量地球的质量 在木棒垂直方向上的投影应当是:

       

      如何优雅的称量地球的质量

       

      由于 M’ 对 在木棒垂直方向上作用的分力,与 的引力是方向相反的,所以上面这两个力之差就是 在木棒垂直方向的受力

       

      如何优雅的称量地球的质量

       

      如何优雅的称量地球的质量

       

      考虑悬线的扭转刚度为 ,即悬线下端单位转角所对应的悬线下端的力矩。设转角为 θ ,木棒两端的两个球所受到的力对悬线下端O点的力矩为2Fd。所以在平衡的条件下,应当有:

       

      如何优雅的称量地球的质量

       

      上式中的K等都是已知的,如果能够测量出平衡时候的 如何优雅的称量地球的质量 如何优雅的称量地球的质量 就能够定出万有引力常数G。然后去计算地球的质量就很容易了。不过,在改变两个大球 的位置时,系统并不马上就能够平衡,而是要经过相当长时间的震荡,来回摆动,才能逐渐趋于静止。这个时间会很长,有时需要等待个把钟头。于是卡文迪许就想办法记下顺序摆动幅度最大处的角度,然后由它们的平均得到预期的平衡点的转角。具体说,把第一个和第三个摆动的最大角取平均,然后再与第二个摆幅的最大角平均,结果就大致是最后平衡时的转角。

       

      我们又知道,根据万有引力定律自由落体的加速度:

       

      如何优雅的称量地球的质量

       

      因此可以得到:

       

      如何优雅的称量地球的质量

       

      代入 式可以得到:

       

      如何优雅的称量地球的质量

       

      那么就有:

       

      如何优雅的称量地球的质量

       

      这样就巧妙地得到了地球的质量。

       

      如何优雅的称量地球的质量

       

      通过实验,卡文迪许估计出地球的质量为5.965×1024kg,大概是60万亿亿吨,和现有的公认值5.972×1024kg相当接近。实验设计得如此巧妙,以至于实验精度在之后多年都无人超越。他的扭秤实验至今仍然是测量万有引力常数的主要方法。

       

      卡文迪许

      如何优雅的称量地球的质量

       

      卡文迪许实验的严谨之处在于,他用密闭的实验装置成功屏蔽了外界因素对测量结果的干扰,例如空气流动等;还用悬线上的镜子成功地放大了引力所带来的偏转,减少了读数误差;另外,为了克服周期性误差,例如温度的影响,卡文迪许测量地球的实验持续了好几年,从而有效降低了温度和扭秤周期性摆动对观察误差的影响。了解地球的质量之后,就能很容易地根据万有引力定律计算出月球和太阳的质量,进而计算出太阳系其他行星和天体的质量,因此卡文迪许实验意义的重要性是不言而喻的,他的这个扭秤实验也被誉为了最美物理实验的第六名。

           

       

            卡文迪许的科学家小故事

       

      许多人说,卡文迪许是18世纪英国有学问人中最富有的人,有钱人中最有学问的人。卡文迪许很有修养,但是没有英国的那种绅士派头。他不修边幅,几乎没有一件衣服是不掉扣子的;他不好交际,不善言谈,终生未婚,过着奇特的隐居生活。卡文迪许为了搞科学研究,把客厅改作实验室,在卧室的床边放着许多观察仪器,以便随时观察天象。他把钱大部分都用在购置科学仪器和图书上。他积聚了一批很有用的图书,除自己使用外,还慷慨地供其他学者使用。他也十分珍惜自己的藏书,整理得井井有条。无论是别人向他借阅,还是自己用书,都要严格办理登记手续,书从哪儿取下看完后必须归还原处。尽管家财万贯,他的生活却非常俭朴。他身上穿的,永远是几套过时陈旧的绅士服。钱的概念,在卡文迪许的头脑中是很淡薄的。他从祖上接受了大笔遗产,成为百万富翁,不过他一点也不吝啬。有一次,他的一个仆人因病生活困难,向他借钱,他毫不犹豫地开了一张一万英镑的支票,还问够不够用。卡文迪许可算是一位活到老、干到老的学者,直到79岁高龄、逝世前夜还在做实验。

       

      人们为纪念这位伟大的科学家,特意为他树立了纪念碑。后来,他的后代亲属德文郡八世公爵S.C.卡文迪许将自己的一笔财产捐赠剑桥大学,并于1871年建成了实验室。它最初是以H.卡文迪许命名的物理系教学实验室,后来实验室扩大为包括整个物理系在内的科研与教育中心,并以整个卡文迪许家族命名。该中心注重独立的、系统的、集团性的开拓性实验和理论探索,其中关键性设备都提倡自制。这个实验室曾经对物理科学的进步作出了巨大的贡献。近百年来卡文迪许实验室培养出的诺贝尔奖金获得者已达26人。麦克斯韦、瑞利、J.J.汤姆逊、卢瑟福等先后主持过该实验室。

       

       

       

      (文章图片源自网络,仅供科普参考)

       

       如何优雅的称量地球的质量
      参考文献

      1武际可.称量地球的人——卡文迪许的万有引力实验[J].物理教学,2013,35(02):78-80 35.

      2吴承埙.称量地球质量的人:卡文迪什及万有引力常量的测定——“最美丽”的十大物理实验之二[J].物理通报,2003(05):39-41.

      3https://www.zhihu.com/question/37617712.

      4http://oppo.yidianzixun.com/article/0T1ECU00.

      5https://baike.baidu.com/item/卡文迪许/3732425?fr=aladdin#6.

       

          

                                 微信公众号:力学科普

                                 原创:雨林

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    • Lv.8仄米空洞
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      图灵
      人类用知识的活动去了解事物,用实践的活动去改变事物;用前者去握宇宙,用后者去创造宇宙——克罗齐
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      Lv.10粲夸克
      伏特
      让我们来撬地球吧。
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      Lv.6十幺米空洞
      我始终相信:人类历史上最壮美的诗篇,既不在游吟诗人激扬吟唱中,也不在剧作家或小说家奇幻的故事里,人类的奇迹是由科学书写的,科学的故事,更加壮观离奇,令人魂牵梦绕!
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      是高二的吧
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      普朗克
      优雅的量地球,这是好的方法~
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      Lv.33哈雷彗星
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      普朗克
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      Lv.8仄米空洞
      普朗克
      [s-70]
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      飞越地球
      写的非常好,点赞支持一下
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      Lv.32珠穆朗玛峰
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      飞越地球
      打赏了3金币
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