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    万有引力公式推导(比耐方程和椭圆极坐标)(2)

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      主题:万有引力公式推导(比耐方程和椭圆极坐标)

      科目:数学

      难度:B2

      时间:2020.1.29-31

      讲师:GHOSTS

      下 2020..1.31

      椭圆运动

      与传统的极坐标相区别,在处理天体物理的时候,中心是焦点,在焦点处做坐标系。举个例子吧,比如说太阳和地球之间那个轨道,就是太阳的位置就是在焦点处。

      万有引力公式推导(比耐方程和椭圆极坐标)(2)

      万有引力公式推导(比耐方程和椭圆极坐标)(2)

      其中的c部分,是由于椭圆的性质,因为OA加OF为定值,为2a(a指的是半长轴)。两个焦点的距离为2c,A与b(半短轴)和c满足a²=b²-c²。

      e部分指的是在三角形AOE中:

      万有引力公式推导(比耐方程和椭圆极坐标)(2)

      之后在三角形AEF中,运用勾股定理。

      e为离心率,p为焦点到准线的距离。

      这是椭圆的极坐标,最后化简得出的结果。如果求出来的轨道满足该方程的话,则该轨道为椭圆。

      万有引力公式

      万有引力公式推导(比耐方程和椭圆极坐标)(2)

      以这两个式子为前提,来进行下一步计算。首先根据开普勒第二定律可得:

      万有引力公式推导(比耐方程和椭圆极坐标)(2)

      此处的a部分可以参考以下b部分的计算:

      万有引力公式推导(比耐方程和椭圆极坐标)(2)

      万有引力公式推导(比耐方程和椭圆极坐标)(2)

      首先凑一个常数m,因为c,m为常数,则r^2  dθ/dt也为常数,因此就有了c步骤。接下来结合开普勒第三定律:

      万有引力公式推导(比耐方程和椭圆极坐标)(2)

      T为周期,a为半长轴。将a部分的计算代入以下公式:

      万有引力公式推导(比耐方程和椭圆极坐标)(2)

      可以求出b部分。

      可得,万有引力公式推导(比耐方程和椭圆极坐标)(2)也为常数。记万有引力公式推导(比耐方程和椭圆极坐标)(2)因为万有引力公式推导(比耐方程和椭圆极坐标)(2)万有引力公式推导(比耐方程和椭圆极坐标)(2)为常数,则万有引力公式推导(比耐方程和椭圆极坐标)(2)也为常数。之后就能得出:

      万有引力公式推导(比耐方程和椭圆极坐标)(2)

      其中:

      万有引力公式推导(比耐方程和椭圆极坐标)(2)

      到了这步,和最终公式已经很接近了。

      万有引力公式推导(比耐方程和椭圆极坐标)(2)

      此处m为行星质量,M为中心天体质量,G为常数。

      在力学中,引力为负号,斥力为正号,便可得出万有引力公式。


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