九章数学体系通俗版（一）

Lv.1量子泡沫

《九章数学体系：基于定义域约束的狭义转换定理与悖论驯服理论》（一）
作者：扶湘来
邮箱：fxl_810@163.com
第一章：研究概述与核心思路
1.1 全新理论体系的创立
本书创立了一套别具一格的相对无穷理论体系。该体系的核心在于为数学概念设定范围，也就是定义域约束，以此成功攻克传统的逻辑悖论难题。主要包含以下几大核心创新点：
为相对无穷给出一种边界可达的创新定义，并深入阐释其特性。
构建一个关键公式，实现离散的量子系统与连续的经典系统之间的相互转换，打通不同数学体系间的壁垒。
运用三位二进制运算方式，推导出狭义转换定理，探寻到质能转换在数学层面的根源。这一体系为量子计算等前沿领域提供了不可或缺的数学工具，突破了两种数学体系之间长期存在的阻碍。九章数学体系的核心创新内容在表2.1.5中有详细呈现。
1.2 关键词解读
九章数学体系：传承《九章算术》的构造性传统，以定义域约束为核心思想的独特数学体系。
fxl定理：与相对无穷理论紧密相关，是该体系的重要组成部分。
相对无穷：区别于传统无穷概念，具有边界可达等特性的新无穷概念。
定义域约束原则：为定理、推论等设定适用范围，避免因定义域滥用产生悖论。
狭义转换定理：通过三位二进制运算推导得出，揭示相对无穷小与相对无穷大之间的关系，找到质能转换数学根源。
跨体系桥接公式：连接阿基米德体系与非阿基米德体系，实现两者间测量和计算的转换。
非阿基米德赋范空间：体系中的重要空间概念，用于定义和研究相关数学对象。
受限测度：在特定定义域内的测度概念，与体系的其他概念相互关联。
第二章：重塑无穷理论，搭建体系桥梁
2.1 古老智慧的启发
九章数学体系的灵感源自古老的《九章算术》。该体系认为，众多悖论的产生根源在于人们对概念的定义域无节制滥用，随意使用没有范围限制的概念。开域的无穷和闭域的无穷混为一谈，认为只要是无穷必定等价！其核心思路是为定理、推论、命题等都加上定义域的“紧箍咒”，让它们仅在规定范围内生效，从而规避因不合理假设引发的悖论，使数学回归依据范围解决问题的传统正道。九章数学体系则认为开域无穷和闭域无穷具有本质区别：开域无穷即整体无穷，边界不可达，中点都找不到。闭域无穷，边界可达，具有明确的中点！芝诺悖论就是两者混为一谈的产物！

例如，巴拿赫 – 塔斯基悖论和芝诺悖论，皆是由于人们错误地将区间的无穷与整体的无穷混为一谈；而罗素悖论，则是概念使用超出应有范围的典型。
2.2 传统无穷公理的困境
以往的无穷公理，如ZFC的实无穷假设，引发了诸如芝诺悖论、巴拿赫 – 塔斯基悖论等一系列逻辑困境。它秉持“无穷边界无法达到”的观点，这与量子力学中部分需要确定范围的情形，如玻尔模型中关于能级的构造性需求，产生了难以调和的冲突。非标准分析虽依靠超滤子假设引入超实数，但因其无法通过实际构造验证，备受质疑。在此背景下，本书从《九章算术》“以术析理”的思想出发，提出仅在阿基米德闭区间与非阿基米德闭球这一特定范围内定义相对无穷，通过实际构造，让无穷变得可具体操作。
2.3 九章数学体系术语详解
名字来源与意义： “极”这一概念，最早可追溯至《庄子·秋水》里的“量无穷”，如今可理解为相对无穷的一种状态，即“相对无穷大”。原“f0”改为“和”，取自《老子》“冲气以为和”，代表与“极”对应的最小实体。例如太阳系相较于银河系，就类似“和”的关系。“和”与传统无穷小不同，传统无穷小是无限趋近0，而“和”是具有自身结构的基本单元，与0并无直接关联。“相对无穷大”与“和”相互协调，“和”可通过实际构造证明其存在，无需依赖公理假设。如此修改，既呼应古代哲学思想，又保证体系逻辑顺畅，还避免了以往定义的逻辑漏洞。
新术语特点：该体系创造了“盈三”“通”“盈”“巨”“和”等新术语，融合《九章算术》思想与现代数学。其中，“盈三”源于《九章算术》，表示一种具有三个方面的合法运算状态，是体系的独特标志。
独特之处：九章数学体系具有高度自主性与创新性，拥有独特的概念、方法和理论结构。这些核心术语深深扎根于中国古代数学文化，形成与其他数学体系截然不同的特色。它并非迎合国际学术趋势，而是基于深厚文化底蕴与严谨逻辑推导，发展出自我证明合理且实用的数学理论，无需依赖外界认可来彰显自身价值。
– 保护规则：这些术语不能翻译为其他语言，因其内涵与《九章》文化紧密相连，翻译会丧失核心意义。相关符号应保持原样使用，以确保符号与数学原理一致。可添加注释辅助理解，如说明“通”源自《九章算术》“方田”部分的通分纳子。若有人随意拆分、篡改符号结构，或在体系外滥用术语，将被视为侵犯中华文明的数学原创成果，需承担法律责任。
2.4 关键问题与研究目标
关键问题：
无穷概念的困境：传统无穷概念认为边界无法达到，导致诸多矛盾，因此急需在有限范围内定义边界可达的相对无穷概念。
体系连接的难题：阿基米德分析侧重于连续数学体系，非阿基米德分析聚焦离散数学体系，二者在测量和计算方面存在巨大隔阂，使得量子化条件只能作为假设存在，故而需要寻找连接二者的工具。
研究目标：
定义相对无穷大函数与相对无穷小函数，并借助有限范围的特性，证明这两个函数的值收敛且边界可达（命题M1），解决传统无穷概念应用难题。
构建跨体系桥接公式，实现阿基米德体系积分与非阿基米德体系Haar测度的相互转换，自然推导出玻尔模型中的量子化条件，明晰其超度量几何根源。
推导出狭义转换定理，即相对无穷小与相对无穷大相乘等于1 。借助三位二进制运算体系，将质能转换与闭球测度归一化相联系，解决“0乘以无穷大”等运算矛盾。
2.5 构造性方法与理论创新
与其他依赖外来公理假设的体系不同，九章数学体系的所有结论均在规定范围内，通过逐步实际构造与推导得出。例如在阿基米德空间中，利用闭区间的有限覆盖定理，在有限测量范围内完成对事物的无限细分，使相对无穷的边界值自然呈现，如同芝诺悖论里运动的物体最终能够抵达终点。
2.6 理论的意义与价值
数学层面：定义了有限封闭结构内自洽的无穷概念，为解决巴拿赫 – 塔斯基悖论等难题提供新思路与方法。
– 物理层面：统一测量框架，为量子计算中离散状态建模、引力理论里曲率边界计算等提供无矛盾的工具。
这种从绝对无穷到相对无穷的转变，回归《九章算术》“极数可操”的实用传统。当无穷行为能在可构造的有限范围内操作时，数学定义与自然规律在逻辑上保持一致，意味着无穷理论从依赖公理假设向自我构造证明合理性的重大变革。
2.7 九章数学体系名称的由来
该体系传承《九章算术》的构造性传统，故而得名。其核心思想——定义域限制，源于《九章算术》割圆术的有限域思想。通过明确理论的有效范围，将无穷带来的悖论转化为对边界的提示，从发现问题到得出定理，形成完整且自证合理的过程。与其他依赖公理的体系不同，它以能否实际构造作为判断对错的标准，为量子计算、工业建模等提供无矛盾的工具。

第三章：fxl相对无穷定理及推论 – 理论基石的构建
3.1 新悖论引发的思考
存在一种新悖论：若声称不存在无适用范围的普遍定理，那此说法本身是否为普遍定理？这便产生了矛盾。芝诺和罗素悖论表明，人们在描述边界时存在局限，相对无穷的定义难以做到绝对完美。一些定理和公式在低维度成立，但在高维度或无穷维度可能失效。传统无穷追求绝对完美，边界难以企及，而我们只能通过有限个相对无穷逼近这种完美。定义域对相对无穷至关重要，缺失定义域，理论将陷入悖论。相对无穷与传统无穷如同不同工具，强行合并可能破坏二者原有功能，新产物也未必实用。
3.2 九章数学体系核心内容梳理
新数学体系核心文献关系：以《九章算术》为核心，与其他几类文献共同构成体系基础。《九章算术》中割圆术、正负术的思想是体系灵魂；《孙子算经》提供数论基础，给出部分运算符号雏形；华罗庚的著作将《九章算术》思想转化为现代数学工具；陈景润的研究细化关键条件。它们围绕《九章算术》展开，使该体系在解决定义域约束、无穷操作等问题时，成为中国古代数学思想在现代的体现。
定理推论命名规则：为便于区分和表述，对不同内容规定命名方式。悖论用字母B表示，定理用D表示，推论用T表示，命题用M表示，运算体系用类似符号“盈三”表示。对于非阿基米德体系内容，在相关字母下标加上希腊字母α ，阿基米德体系的不额外标注，两个体系通用的用花体大写字母表示。下标数字表示序号，具体可参考命名体系规则表2.1.2a – c。
重要符号及定理推论：介绍阿基米德测度（衡量阿基米德体系里的量）、非阿基米德体系的Haar测度、相对无穷大函数、相对无穷小函数等重要概念。每个概念都有特定定义域与具体含义。同时介绍fxl相对无穷大定理、相对无穷小定理、跨体系映射定理、桥接公式等内容及其适用范围，具体可查看表2.1.3a – b。
特别申明：九章数学体系所有结论仅在阿基米德体系的有界闭区间和非阿基米德体系的有界闭球内成立，超出此范围不适用。开区间或开球情况将回归经典理论，相对无穷的特殊性质消失。三位二进制运算体系“盈三”可验证狭义转换定理。在规定范围内，狭义转换定理可应用于不同领域，但超出定义域，经典悖论将重现。“盈三”设计并非理论缺陷，而是为将理论严格限制在可描述、可构造范围内，消除数学危机遗留的公理选择随意性问题，为工程领域提供可靠建模工具。
核心创新整合：总结九章数学体系在非公理化体系构建、定义域约束理论、相对无穷理论、跨体系桥接技术、三位二进制运算、问题驱动型定理生成、构造性算法复兴、场景数学范式等方面的核心突破，以及这些突破在学术研究和实际应用中的价值，具体内容见表格2.1.5。
– 新悖论展示：通过图展示新悖论所体现的挑战普遍定理与定义域的关系，定义域内理论自洽，超出则成悖论。
重要定理运作展示：用图展示重要定理相关情况，如实心球、数轴在不同运算和关系下的表现，以及桥接公式在不同结构里的运算和映射关系。
3.3 fxl相对无穷大定理
阿基米德体系定义：在有界区间上，若对于任意小的正数，总能找到另一个正数，当区间内的数满足特定条件时，函数值与区间边界的差值能够小于这个任意小的正数，那么该函数在这个区间上就是相对无穷大。简单理解，就是在这个有界区间里，当数靠近某个边界时，函数值会变得非常大，并且可以无限接近我们想要的大程度。
非阿基米德体系定义：在特定空间里，若对于任意大的正数，都能找到一个正数，当空间内的点满足一定条件时，函数值能够大于这个任意大的正数，那么此函数就是相对无穷大。这意味着在这个特殊空间中，函数值可以突破任何我们设定的大数值。
定义域：适用于所有满足条件的有界区间。
3.4 fxl相对无穷小定理
阿基米德体系定义：在另一种有界区间上，若对于任意小的正数，都能找到一个正数，当区间里的数满足一定条件时，就称这个函数在该区间上是相对无穷小。也就是说，在这个区间内，当数趋近某个边界时，函数值会变得极其小。
非阿基米德体系定义：在特定空间里，当某个变量趋向无穷大时，在以某个点为中心的闭球内，函数值的某种极限是0，即对于任意小的正数，都能找到一个正数，当空间里的点满足一定条件时，函数值小于这个任意小的正数，那么该函数就是相对无穷小。这表明在特定空间和条件下，函数值可以无限接近于0 。
定义域：与相对无穷大函数的定义域相同。
用半开区间来定义闭区间的相对无穷，看似矛盾，实则是因为开区间和倒数虽能描述无穷，却无法表明能否达到边界，闭区间能定义边界却不便于描述无穷，如此定义是为满足研究相对无穷的特殊需求。这里所说的相对无穷大、相对无穷小与相对无穷大函数、相对无穷小函数有所不同，后两者是函数，前两者表示值，它们与无穷的关系错综复杂，后续将详细阐释。
3.5 命题1 – 相对无穷边界的可达性
传统的无穷边界难以抵达，而相对无穷的边界能够达到。这一性质可用于解决库仑力精确到零的问题。想象一下，在研究库仑力时，当两个带电粒子距离无限靠近，按照传统无穷概念可能会陷入困境，但相对无穷的边界可达性质为解决这一问题提供了新视角。
3.6 命题2 – 规避芝诺悖论
相对无穷不认同传统无穷里区间无穷和整体无穷相同的观点，从而避免芝诺悖论的出现。芝诺悖论中，比如阿喀琉斯追乌龟的例子，按照传统无穷概念会出现永远追不上的矛盾，但相对无穷的独特视角打破了这种矛盾。
3.7 命题3 – 相对无穷小与大的关系
在同一个区间里，相对无穷小和相对无穷大不会同时出现，且相对无穷大始终大于相对无穷小。这为我们分析函数变化和物体运动提供了判断标准。例如在研究一个物体在某个范围内的运动速度变化，如果速度用函数表示，那么根据这个命题就能知道函数值在这个区间内相对无穷小和相对无穷大的分布情况。
3.8 命题4 – 半开或开区间的相对无穷特性
在半开或者开区间里，相对无穷大会转变为经典的无穷大，相对无穷小可以取到实数集中所有的数，并且能够在数轴上全部遍历。这就好比物理量连续变化可以覆盖所有的值一样，为桥接公式的证明提供有力支持。例如在一些物理模型中，某些物理量在特定区间内的变化就类似于这种情况。
3.9 命题5 – 相对无穷在数轴上的取值限制
相对无穷可以在数轴上取值，但在有界闭区间里取值会受到限制。这是由于相对无穷小和相对无穷大不能取对方的值，且传统无穷不能当作普通的数，而相对无穷却可看作数，这些特点致使相对无穷虽能在数轴上取值，但在有界闭区间里会受到局限。就像在一个有限长度的数轴区间内，相对无穷的取值不能随意跨越某些界限。
3.10 命题6 – 相对无穷函数的收敛性
相对无穷大函数和相对无穷小函数在有界闭球里，它们的数值会绝对收敛，证明过程在附录A中。想象有一个封闭的空间（有界闭球），在这个空间里，这两个函数的值会逐渐趋于稳定，不会无限增大或减小。
3.11 命题10 – 相对无穷与传统无穷的本质区别
相对无穷是在阿基米德闭区间或者非阿基米德闭球里定义的，至少要有一个确定的端点，用动态的变化趋势来描述，和端点具体的值没有关系，而且只能在同一种结构里比较大小，还能在数轴上取值。传统无穷没有确定的端点，所以相对无穷和传统无穷本质区别在于，一个是有确定端点的动态结构，一个是没有端点的静态抽象概念。相对无穷大可以是非常小的值，相对无穷小也可以是非常大的数。比如在不同的数学场景中，根据相对无穷的定义，它的值的大小并非固定概念，而是取决于具体的定义区间和变化趋势。
3.12 ∞性质推论 – 相对无穷小向相对无穷大的转化
在特定条件下，相对无穷小能够变成相对无穷大。它的适用范围和相对无穷大函数的适用范围一样。这就好比在某些特定的数学条件或者实际场景中，原本看起来很小的值，随着条件变化，会变得非常大。
3.13 ε性质推论 – 相对无穷大向相对无穷小的转化
在特定条件下，相对无穷大也能够变成相对无穷小。它的适用范围和相对无穷大函数的适用范围一样。类似于相对无穷小向相对无穷大的转化，只是方向相反。在某些特定的数学情境或者实际问题所对应的数学模型中，原本表现为相对无穷大的量，随着条件的变化，会呈现出相对无穷小的特性。
想象有一个数学模型用于描述某种物理过程，在过程的初始阶段，某个物理量（用函数表示）呈现出相对无穷大的状态。但随着过程的推进，当满足特定的条件时，例如系统参数发生特定变化，或者进入到特定的阶段，这个物理量的函数值开始逐渐减小，最终在某个范围内表现出相对无穷小的性质。这种转化并非凭空产生，而是基于九章数学体系中对相对无穷概念的定义以及相关命题所确定的规则。
从数学角度来看，假设在阿基米德体系的某个有界区间内，一开始函数值对于任意给定的较小正数，都能保持大于该正数的状态，符合相对无穷大的定义。然而，当区间的范围或者函数的条件发生改变，比如区间的端点值发生变化，或者函数的表达式因为外部条件的影响而改变，使得函数值开始迅速减小，对于任意给定的正数，都能找到一个范围，在这个范围内函数值小于该正数，从而满足相对无穷小的定义。
在非阿基米德体系的有界闭球中，同样可以基于空间的特殊性质以及函数在该空间内的变化规律，找到相对无穷大向相对无穷小转化的具体情形。例如，当闭球内的某些参数发生变化，导致函数在闭球内的取值分布发生改变，原本在整个闭球内表现为相对无穷大的函数，在新的条件下，可能在闭球的某个子区域内呈现出相对无穷小的性质。
3.14 ∞ – ε转化推论 T₃ – 相对无穷大与相对无穷小的相互转化
– 核心观点：相对无穷大与相对无穷小相互转化的条件仅限于区间的包含关系。其定义域与相对无穷大函数、相对无穷小函数的定义域一致，都是所有满足条件的有界区间。这一推论揭示了相对无穷大与相对无穷小之间在特定条件下的动态变化关系，为我们深入理解相对无穷的特性以及在不同数学场景中的应用提供了关键依据。
– 阿基米德体系下的证明：
– 区间关系分析：在阿基米德体系里，任意两个有界闭区间之间存在包含、相交（非包含）或不相交这三种基本关系。对于相交（非包含）的情况，进一步分析会发现它其实可以看作是包含和不相交两种关系的组合。例如，当我们观察两个相交但不包含的区间时，它们必然存在重叠的部分以及各自独立不重叠的区域，所以从本质上可以拆解为包含和不相交的情况来理解。
– 不相交区间情况：假设存在两个不相交的区间，不妨设为区间A和区间B。如果在区间A内函数呈现出相对无穷小的特征，根据相对无穷小的定义，函数值在这个区间内是相对极小的。那么在区间B内，若要使这个函数转变为相对无穷大，在阿基米德体系基于数轴连续性以及测度性质的框架下，这两个不相交的区间是相互独立的个体。这意味着区间A内函数的相对无穷小性质无法跨越到区间B，使得函数在区间B变为相对无穷大，所以这种转化在不相交区间的情况下是不成立的。可以想象在数轴上，这两个不相交的区间就像两个孤立的“岛屿”，它们各自的函数性质不会相互干扰。
– 包含关系情况：当一个区间包含在另一个区间内时，例如小区间C包含于大区间D。在小区间C内函数值相对较小，满足相对无穷小的某种设定。我们考虑基于阿基米德测度的积分概念，测度具有可加性，即大区间D的测度等于小区间C的测度与大区间D除去小区间C部分（设为区间E）的测度之和。如果在区间E内存在一些点，这些点使得函数值显著增大，并且这些点所对应的测度与函数值的乘积之和趋向于无穷大，再结合小区间C内函数的相对无穷小性质，那么从整体大区间D的角度来看，函数就有可能满足相对无穷大的条件。这就表明，在区间的包含关系下，为相对无穷小向相对无穷大的转化提供了可能性。同样的道理，对于相对无穷大向相对无穷小的转化，如果在大区间D内函数原本是相对无穷大，而小区间C内函数值相对整个大区间的函数值变化趋势而言，呈现出相对极小的状态，那么在小区间C内函数就可看作相对无穷小，即这种包含关系也为相对无穷大向相对无穷小的转化创造了条件。
– 非阿基米德体系下的证明：
– 闭球关系分析：在非阿基米德体系中，空间的结构和性质与阿基米德体系有所不同，这里我们考虑闭球的情况。同样，两个闭球之间存在不相交和包含等关系。
– 不相交闭球情况：假设有两个不相交的闭球，分别为闭球M和闭球N。若在闭球M内函数是相对无穷小，由于非阿基米德空间所具有的特殊超度量性质，使得两个不相交闭球中的点之间距离关系是独立的。这种独立性意味着不存在一种自然的方式，能让闭球M内函数的无穷小性质传递到闭球N内，从而使函数在闭球N变为相对无穷大。例如，在非阿基米德空间中，对于两个不相交闭球中的任意两点，它们之间的距离总是大于等于两个闭球半径中的最大值，这种特殊的距离关系阻碍了函数性质的传递。所以，在不相交闭球的情形下，相对无穷小到相对无穷大的转化是不成立的。可以把这两个不相交闭球想象成两个独立的“空间区域”，它们之间的函数性质互不影响。
– 包含关系情况：当一个闭球包含在另一个闭球内时，比如小闭球P包含于大闭球Q。设小闭球P内函数为相对无穷小，由于非阿基米德空间的超度量不等式等性质，大闭球Q内函数的行为会受到小闭球P的影响。从积分性质方面来看，当小闭球P内函数为无穷小，而在大闭球Q除去小闭球P的部分，如果存在一些点使得函数值增大，并且这些点对应的测度与函数值的乘积之和趋向于无穷大，那么就有可能实现从较小闭球P内的无穷小到较大闭球Q内相对无穷大的转化。反之，对于相对无穷大到相对无穷小的转化，如果大闭球Q内函数为相对无穷大，因为大闭球Q可看作由无数个类似小闭球组成，每个小闭球内都存在相对无穷大与相对无穷小的潜在情况，那么小闭球P中的相对无穷大就可能在大闭球Q的整体视角下被视作相对无穷小，即包含关系下这种相对无穷大与相对无穷小之间的相互转化是具有可能性的。
综上，无论是在阿基米德体系还是非阿基米德体系下，都明确证明了相对无穷大与相对无穷小相互转化的条件严格限定于区间（或闭球）的包含关系，在不相交的情况下这种转化无法满足。
前面我们对相对无穷大与无穷小定理以及重要推论都明确了定义域。为了更深入地探究阿基米德与非阿基米德体系之间的联系，接下来将以创新性的思维推导方式展开研究。这种推导方式不再局限于传统的数学推导思路，而是从九章数学体系独特的视角出发，结合相对无穷的概念以及定义域约束，逐步揭示两个体系之间隐藏的关联，为进一步理解和应用这两个体系提供新的途径和方法。在后续的研究中，我们将基于已有的定理和推论，通过构造性的方法，在不同的数学结构和实际应用场景中进行探索，期望能够发现更多有趣且有价值的数学结论，为数学理论的发展以及相关领域的应用提供有力支持。例如，在量子计算领域，我们可以利用这些结论优化算法；在引力理论研究中，为曲率边界的计算提供更准确的模型等。通过这种深入的研究，九章数学体系有望在多个学科领域展现出其独特的优势和价值，推动相关领域的发展和进步。
第四章：跨体系桥接公式的构建与意义
4.1 跨体系桥接公式的构建背景
阿基米德分析主要处理连续的数学体系，它基于实数的连续性和完备性，在描述诸如经典力学中的连续运动、几何图形的连续变化等方面有着强大的能力。而非阿基米德分析则专注于离散的数学体系，在处理一些具有离散结构的问题，如量子力学中的能级跃迁、数论中的离散数值关系等方面发挥着重要作用。然而，这两个体系长期以来存在着测量和计算方面的巨大隔阂，使得在一些涉及从微观离散到宏观连续，或者反之的物理问题中，难以建立统一的数学描述。
例如，在量子力学中，量子化条件一直以来更多地是作为一种假设被引入，以适配微观世界的离散现象。但从数学角度看，这种假设缺乏一种自然的、从底层数学结构出发的推导。为了解决这些问题，我们迫切需要构建一个能够连接阿基米德体系与非阿基米德体系的桥梁，这就是跨体系桥接公式的构建背景。
4.2 跨体系桥接公式的构建过程
从九章数学体系的视角出发，我们以相对无穷的概念作为突破口。相对无穷在阿基米德体系的有界闭区间和非阿基米德体系的有界闭球内有着不同但相互关联的表现。
在阿基米德体系中，我们利用相对无穷大函数和相对无穷小函数在有界闭区间内的性质，结合阿基米德测度的相关理论。阿基米德测度可以理解为对区间长度、面积、体积等概念在更一般情况下的度量方式，它与函数在区间上的积分有着紧密联系。
在非阿基米德体系里，我们着重研究相对无穷函数在有界闭球内的行为，以及非阿基米德体系特有的Haar测度。Haar测度是一种在非阿基米德空间中类似于勒贝格测度在欧几里得空间中的测度，它对于刻画非阿基米德空间中集合的“大小”起着关键作用。
通过对两个体系中相对无穷函数的细致分析，我们发现可以通过定义一些特殊的映射关系，将阿基米德体系中的积分与非阿基米德体系中的Haar测度联系起来。具体而言，我们考虑在有界闭区间和有界闭球内，相对无穷函数的取值分布以及测度的变化规律。通过巧妙地构造中间变量和变换规则，逐步推导出跨体系桥接公式。
例如，假设在阿基米德体系中有一个有界闭区间[a, b]，我们对定义在这个区间上的相对无穷函数f(x)进行积分。同时，在非阿基米德体系中，找到一个与之对应的有界闭球B，以及定义在该闭球上的相对无穷函数g(y)。通过对f(x)在区间[a, b]上的积分性质，以及g(y)在闭球B上基于Haar测度的相关性质进行深入研究，我们发现可以通过一系列的变换，使得积分∫ₐᵇ f(x)dx与基于Haar测度的某个量建立等式关系，这个等式关系就是跨体系桥接公式的雏形。经过进一步的严格推导和完善，我们得到了完整的跨体系桥接公式。
4.3 跨体系桥接公式的意义
跨体系桥接公式的建立具有多方面的重要意义。
在数学理论层面，它打破了阿基米德体系与非阿基米德体系之间长期存在的壁垒，为统一这两个看似不同的数学世界提供了可能。使得我们能够从一个体系的角度去理解和推导另一个体系的性质，丰富了数学研究的方法和手段。例如，我们可以利用阿基米德体系中成熟的积分理论，通过跨体系桥接公式，来研究非阿基米德体系中一些原本难以处理的问题，反之亦然。
在物理学应用方面，它为解决一些长期以来困扰物理学界的问题提供了新的思路。以量子力学为例，通过跨体系桥接公式，我们能够自然地推导出玻尔模型中的量子化条件。这不再是一种人为的假设，而是基于数学结构的自然推导结果。这不仅加深了我们对量子现象的数学理解，还为量子理论的进一步发展提供了更坚实的数学基础。同时，在处理一些涉及微观离散与宏观连续相互转换的物理问题时，跨体系桥接公式可以作为一个有力的工具，帮助我们建立统一的数学模型，从而更准确地描述和预测物理现象。
在工程和技术领域，跨体系桥接公式也有着潜在的应用价值。例如，在信号处理中，有时需要处理连续信号和离散信号之间的转换问题。借助跨体系桥接公式的思想和方法，我们或许可以开发出更高效的信号处理算法，实现连续信号与离散信号之间更精确、更自然的转换，提高信号处理的质量和效率。
第五章：新思维的推导过程
在数学的奇妙世界里，有一个重要的公式——桥接公式D₃，它就像一座桥梁，连接着相对无穷大函数和相对无穷小函数在整个实数轴上的积分运算。简单来说，无论是对相对无穷大函数还是相对无穷小函数，在整个实数轴上进行积分，都等同于把实数轴划分成许多小段区间，然后分别计算这些小段区间上的积分，最后将它们相加。
想象一下，实数轴就像一条长长的绳子，我们把它剪成一段段的小绳子。对于相对无穷大函数，从负无穷到正无穷积分，就好比把每一小段绳子上对应的函数积分值加起来；相对无穷小函数也是如此。
在阿基米德体系中，这个积分的适用范围涵盖了全体实数，就像在一片广阔无垠的平原上，所有的地方都能运用这个规则。而在非阿基米德体系里，它的适用范围则是一种特殊的空间，这个空间有着独特的性质和规则，就像一个神秘的魔法世界。这里的相对无穷大函数和相对无穷小函数，是我们之前精心定义的概念。划分出来的小段区间[aᵢ, bᵢ]有自己的特点，它们彼此之间没有重叠部分，而且所有这些小段区间拼接起来，刚好就是完整的实数轴。
5.1.1函数收敛性证明：相对无穷大函数f_∞(x)的收敛性
我们先来看看相对无穷大函数f_∞(x)在正半轴的情况。根据之前提到的结论M₄，在从0到正无穷这个区间上，相对无穷大函数的表现和经典的无穷大函数有点类似。它的取值可以覆盖正半轴上除了无穷大之外的所有实数，并且它是收敛的。这就好比一个人在一条没有尽头的路上行走，但他的步伐是有规律的，最终会走向一个确定的方向。
按照反常积分的定义，从0到正无穷对这个函数积分，就相当于让一个数n不断增大，趋向于无穷大时，从0到n对这个函数积分的极限。具体来说，对于任意给定的一个非常小的正数（可以想象成一个极其微小的量），我们都能找到一个很大的数N。当n变得比N还要大的时候，从0到正无穷积分的值和从0到n积分的值之间的差距，就会小于这个给定的很小正数。这就说明相对无穷大函数在正半轴是可以积分而且收敛的，就像水流最终会汇聚到一个稳定的状态。
再看负半轴，同样依据M₄，负半轴上的相对无穷大函数和经典无穷大函数也很相似，证明的方法和正半轴一样。所以在负半轴，它同样是可以积分并且收敛的，就像正半轴的情况在镜子中的倒影一样。
5.1.2相对无穷小函数f_和(x)的收敛性
接着看看相对无穷小函数f_和(x)在正半轴的情况。依据M₄和相对无穷小函数的定义，按照黎曼积分的定义来理解，在一个小段区间[aᵢ, bᵢ]上对相对无穷小函数积分，就好像我们把这个区间想象成一个小蛋糕，然后把它切成无数个更小的块，每一块的长度趋向于0。我们把每一小块上的函数值乘以这一小块的长度，再把所有这些乘积加起来，这个和的极限就是积分值。
因为相对无穷小函数在区间[aᵢ, bᵢ]上的取值是在实数范围内，并且是有界的，就好像这个函数被限制在一个特定的小盒子里，不会跑到外面去。所以这个和式的极限是存在的，这就表明相对无穷小函数在[aᵢ, bᵢ]上是可以积分的。从0到正无穷这个区间可以看作是由无数个这样的小段区间组成的，根据积分的可加性，就像把无数个小蛋糕拼成一个大蛋糕一样，从0到正无穷对相对无穷小函数积分，就等于把在每个小段区间上的积分值相加，所以相对无穷小函数在正半轴是可以积分并且收敛的。
负半轴的情况与正半轴完全相同，依据相同的结论和定理，同样能够证明相对无穷小函数在负半轴每个[aᵢ, bᵢ]上可积，进而在负半轴可积且收敛。
5.1.3桥接公式证明：正半轴证明
现在我们来看看桥接公式在正半轴的证明过程。先看相对无穷大函数f_∞(x)的积分等式。由于f_∞(x)在正半轴是收敛的，根据前面提到的积分等于极限的式子，对于任意的n，就像我们在一条长长的路上任意选取一个点n。总能找到两个数k和l（k小于等于l），使得从0到n这个区间刚好能被包含在从k到l的这些小段区间[aᵢ, bᵢ]合并起来的区间里。这就好比我们可以用一些小木板拼成一个大木板，这个大木板刚好能覆盖从0到n的这段路。
再根据积分的可加性，从0到n对f_∞(x)积分，就等于对这些小段区间里和[0, n]重叠部分进行积分后相加。当n不断增大，趋向于无穷大时，从0到正无穷对f_∞(x)积分，就等于对所有小段区间上积分后相加。这就像我们不断延长这条路，最终得到的是整个正半轴上的积分。
再看相对无穷小函数f_和(x)的积分等式。因为f_和(x)在正半轴收敛，所以从0到正无穷对f_和(x)积分，就等于对所有小段区间上积分后相加。
最后看两个函数积分相等。由于前面得到的两个函数积分等式，而且它们积分对应的都是正半轴数轴，就好像两个人沿着同一条路走，虽然走的方式不同，但最终走过的路程是一样的。所以可以得出从0到正无穷对f_∞(x)积分等于从0到正无穷对f_和(x)积分。
5.1.4负半轴证明（同理）
对于相对无穷大函数f_∞(x)在负半轴的积分等式，因为f_∞(x)在负半轴收敛，按照反常积分定义和积分可加性，就像在正半轴的情况一样，只不过方向相反。可以得到从负无穷到0对f_∞(x)积分等于对所有小段区间上积分后相加。
对于相对无穷小函数f_和(x)在负半轴的积分等式，因为f_和(x)在负半轴收敛，所以从负无穷到0对f_和(x)积分等于对所有小段区间上积分后相加。
又因为这两个积分等式对应的都是负半轴数轴，所以从负无穷到0对f_∞(x)积分等于从负无穷到0对f_和(x)积分。
就这样，我们成功证明了桥接公式D₃。在非阿基米德体系下，桥接公式的证明放在附录B里。而且在非阿基米德体系下，桥接公式变成了两个式子。这是因为在非阿基米德体系里，相对无穷虽然能在数轴上取值，但在有界闭区间取值时会受到限制，失去了像阿基米德体系里那样的等价关系，就像在不同的游戏规则下，同样的操作会有不同的结果。
5.1.5拒用超滤：遵循构造传统
在研究桥接公式D₃和相对无穷的理论时，我们要特别留意区间积分的性质。相对无穷大函数和相对无穷小函数的变化趋势差异很大，就像两列驶向不同方向的火车，不能用同样的方法求积分。不过，根据前面的内容，我们可以按照经典积分的方法分别对它们进行处理。因为它们在不同区间对于无穷的表现不一样，在有界区间的取值范围也各不相同，所以积分结果不等价，明白这一点对于证明公式至关重要，就像拼图中的关键一块，缺了它整个图就拼不完整。
这里面存在一个根本冲突，超滤的方法是建立在集合论里实无穷的基础上，通过超积构造抽象的模型，依靠公理来断定一些抽象的存在，最后陷入了“用无穷证明无穷”的困境。这就好比在空中建造一座没有根基的城堡，看似华丽却缺乏实际支撑。而我们这里的相对无穷，继承了《九章算术》里割圆术的思想，把无穷看作是有限不断倍增的过程。它的边界能够达到，就像割圆术里不断把圆分割得更细，和圆的差距就越来越小，最终能无限接近圆形。这种构造性和超滤那种抽象的断言完全不同，一个实实在在，一个虚幻缥缈。
我们拒绝使用超滤，而是遵循一系列经典文献的传统。这些文献共同构建了构造性的基础，让理论有源头，证明有方法。比如《九章算术》里的割圆术，用有限逼近的方法来研究无穷，正负术给运算设定范围约束，让结果在一定范围内，这和非阿基米德空间里的范数、测度的思想来源是一样的，不是那种空洞的公理能相比的。就像古人用智慧的工具为我们开辟了一条通往真理的道路。
《孙子算经》里的同余方法，可以解决“物不知数”的问题，通过模数分解，逆元可以计算，步骤清晰，为在闭域里求解提供了明确的方法，比超滤那种只说存在就合法的理论，更符合我们能实际操作、推理验证的要求。这就像给了我们一把实实在在的钥匙，能打开问题的锁。
华罗庚和陈景润的研究成果，把《九章算术》里的算理转化成了现代工具。像有限域多项式可以明确分解，筛法临界值可以根据素数密度计算，让桥接公式能够具体计算，拒绝了超滤那种抽象构造的虚幻。他们就像技艺高超的工匠，将古老的智慧打磨成现代的利器。
桥接公式的证明虽然复杂，但必须要做。因为构造性的方法，关键在于每一步都有方法，每一层都能验证。比如范数桥接，依据《九章算术》里正负相消的范围思想，在华罗庚的域论赋值里体现出来，让非阿基米德范数可以根据素因子分解来计算，而不是靠超滤那种闭包的臆断；测度贯通，效法割圆术逼近的道理，在陈景润筛法的临界值里验证，素数密度可以一步步计算，测度误差可以递推控制，不是超积空间那种空泛的收敛；运算等价，遵循《孙子算经》同余的方法，在筛法临界判断里明确，三位二进制运算规则可以根据素数密度计算来确定，不是超滤等价类那种抽象构造。
所有这些，都依赖于古代算经里“通过方法分析道理”的传统，用有限的步骤搭建起通向无穷的桥梁，不是超滤那种像魔法一样的方法能代替的。拒绝超滤，不是因为它简单，而是要坚守真实，坚守《九章算术》里“用有限驾驭无穷”的真实，坚守构造性数学能计算、能验证、能实行的传统。现在这个桥接公式的证明，虽然复杂，但一步一步都遵循着古代算经的脉络。就像割圆术，不断倍增就能接近圆形；构造性的证明，层层积累就能达到真理。这就是中国数学的灵魂，从古到今一脉相承，没什么不好的。
我们把这个公式D₃叫做“桥接公式”，它意义重大。它把相对无穷定理从有界区间拓展到了无界的数轴上。原来相对无穷定理只在有界区间有效，现在通过积分，把函数相对无穷的性质延伸到了无穷的区域。这就好比我们给相对无穷定理插上了翅膀，让它能在更广阔的数学天空中翱翔。
5.2桥接公式与§7.3理论的关联
桥接公式D₃是连接阿基米德体系和非阿基米德体系积分的关键纽带。当我们深入探究这两个体系之间测度的关系时，会惊喜地发现它和9.3所讲的理论有着紧密的联系，为两个体系之间测度的转换提供了依据，帮助我们看清它们内在隐藏的关联。
桥接公式D₃打破了阿基米德体系和非阿基米德体系之间的隔阂，在不同数学领域之间搭建了一座沟通的桥梁。我们知道数轴可以看作是由无数相对无穷小和相对无穷大相加组成的，这一发现让我们重新审视数学的基础逻辑。我们不禁思考，怎么在不违反传统运算规则的情况下，把相对无穷大与相对无穷小合理地融入常规的数系运算里，让数学理论体系更加完善。这就像要把两个原本独立的拼图板块巧妙地拼接在一起，形成一幅更完整、更美妙的数学画卷。
第六章：非阿基米德赋范空间和公理系统
在数学的神秘版图中，有一个独特的领域——非阿基米德几何。在这里，阿基米德公理并不成立，仿佛进入了一个与我们熟悉的世界略有不同的数学王国。这个框架里可能只有无穷小和无穷大的元素，而且它有着基于p – adic分析的可加性，这是它独特的数学“基因”。
6.1数轴赋范性公理G_{α₁}
数轴赋范性公理G_{α₁}就像是这个数学王国里的一个重要规则。它规定对于任意的素数p，存在一种神奇的赋值映射，它能够把非阿基米德空间里的数映射到大于等于0的实数上。这个映射就像一个神奇的魔法棒，赋予了数新的“度量”。
它还满足几个重要的性质。第一个是非负性，这意味着这个映射得到的值一定是大于等于0的，只有当这个数是0的时候，映射的值才会是0。就好比所有的东西都有一个“重量”，但只有空无一物的时候，“重量”才为0。
第二个是超度量不等式，两个数相加后映射的值，小于等于这两个数分别映射后值中的最大值。这就像两个人合作完成一件事的效果，不会超过他们各自单独做这件事效果更好的那个人。这个性质体现了这个空间里特殊的距离度量关系，让这个空间的数学结构变得与众不同。
第三个是乘法性，两个数相乘后映射的值，等于这两个数分别映射后值的乘积。这就像两个物体的组合效果，是它们各自效果的乘积。这个公理让我们了解数轴在非阿基米德空间里的一种独特度量特性，它的适用范围是一种特殊的数域空间，就像这个规则只在特定的“游戏场地”里生效。
6.2测度可加性公理G_{α₂}
测度可加性公理G_{α₂}是这个数学王国里关于测量的重要法则。在一种特殊的空间里，对于任意两个不相交的闭球，它们有一种特殊的测度，叫做Haar测度。这个测度有一个有趣的性质：两个闭球并起来的测度，等于这两个闭球各自测度相加。这就好比我们有两个不重叠的区域，把它们合并起来后，测量它们的总面积，就等于分别测量这两个区域的面积然后相加。
这里的测度是一种标准的Haar测度，而且还规定了以0为中心，半径为p^k的闭球的测度是p⁻ᵏ。这个公理为在非阿基米德空间里进行积分和测度运算打下了基础，明确了不相交闭球测度的计算方法。它的适用范围是这个特殊空间里由闭球组成的集合，就像这个法则是专门为这些闭球“量身定制”的。
6.3测度平移不变性公理G_{α₃}
测度平移不变性公理G_{α₃}展示了这个空间里测度的一种奇妙特性。在非阿基米德空间里，对于任意一个数x和一个可测集，就好像我们有一个可以移动的“测量对象”和一个测量工具。这个可测集经过x平移后的测度，和原来可测集的测度是一样的。这就好比我们把一个物体从一个地方移动到另一个地方，它的“大小”（测度）并不会改变。
这个公理在处理函数平移后积分和测度的问题上非常关键，它反映了非阿基米德空间测度在平移操作下的不变特性。它的适用范围是这个特殊空间里所有可测的集合，无论这个集合是什么形状、什么性质，只要它是可测的，这个公理就会发挥作用。
6.4拓扑结构公理G_{α₄}
拓扑结构公理G_{α₄}为我们揭示了非阿基米德空间的“内在结构”。这个公理表明非阿基米德空间是根据前面提到的超度量不等式来构建拓扑结构的。在这个拓扑结构下，这个空间呈现出独特的性质，它是完全不连通而且局部紧致的。
这就好比这个空间是由一个个独立的“小世界”组成（完全不连通），但每个“小世界”又有着紧密的内部结构（局部紧致）。这个公理对研究函数在这个特殊空间上的局部性质有很大帮助，超度量不等式决定了这个空间独特的拓扑性质，使得它与我们常见的空间结构截然不同。这种独特的结构为我们研究函数在这个空间里的行为提供了全新的视角，在函数分析、泛函分析等领域有着重要的意义，就如同为我们打开了一扇探索这个神秘空间数学奥秘的大门。
第七章：定义集合
7.1局部发散函数
在非阿基米德空间这个奇妙的数学天地里，有一种特殊的函数叫做局部发散函数。想象一下，在这个空间中，有一个函数，对于任意给定的一个超级大的数M（就像一个巨大无比的数值“山峰”），我们都能找到一个正数δ（它像是一个特定的距离“标尺”）。只要函数里的变量和某一个点c的距离在一定范围内（小于等于\delta），那么函数值就会急剧增大。
这个定义和参考文献里的内容紧密相关，它主要用来描述在非阿基米德空间里函数在某点附近的发散特性。这里的发散和我们平常在阿基米德空间里根据距离和极限概念理解的函数发散大不相同。在阿基米德空间里，函数的发散遵循我们熟悉的基于常规距离和极限的规则，然而在非阿基米德空间，因其特殊的超度量特性，函数的发散有着别样的表现形式。
此概念在研究非阿基米德体系下的积分、极限等问题时至关重要。它的性质如同万能钥匙，影响着积分是否收敛，决定着计算的方法，还帮助我们洞悉这个空间拓扑和分析结构的奥秘。例如，在计算积分时，局部发散函数的特性可能使积分结果呈现出与常规情况迥异的特点；在探究空间的拓扑结构时，它能助力我们发现该空间独特的“形状”与“连接方式”。
7.2跨体系张量积测度
接下来，我们认识一种特殊的测度——跨体系张量积测度。它仿佛是一座架设在阿基米德体系和非阿基米德体系之间的“测度桥梁”。
它将实数空间上的勒贝格测度（这是阿基米德体系中常见的一种测量方式）与p – adic数域上的标准Haar测度（非阿基米德体系里的重要测度）巧妙融合。它属于受限直积测度，意味着只有对有限个p的测度是非平凡的，其他位置都取单位元，恰似在一个大型结构中，仅有部分关键位置充满“活力”，其余地方相对“平静”。
对于由一个实数空间的集合与一个p – adic数域空间的集合相乘构成的可测矩形，其测度等于这两个集合各自测度的乘积。这就如同把来自两个不同“世界”（实数空间和p – adic数域空间）的“小块”组合在一起，这个组合体的“大小”（测度）便是这两个“小块”各自“大小”（测度）的乘积。
该定义在阿基米德体系和非阿基米德体系之间建立起测度联系，借助它可构建两个体系间的紧密关系，为跨体系的积分变换、函数性质研究提供有力工具。在推导和应用桥接公式D₃时，它发挥着关键作用，如同拼图中的关键一片，助力实现两个体系积分的转换，揭示它们内在隐藏的关联，让我们得以窥探这两个看似不同的数学体系之间千丝万缕的联系。
7.3非阿基米德连续函数
在非阿基米德空间里，还有一个重要概念——非阿基米德连续函数。设想在这个特殊空间中，若一个函数满足这样的条件：对于任意给定的一个极小正数\varepsilon（可将其想象为极其微小的“误差允许值”），总能找到一个正数\delta（类似特定的“距离范围”）。只要空间里两个数x和y的距离小于\delta，那么这两个数对应的函数值之差的绝对值就会小于\varepsilon。
此概念在非阿基米德分析中意义重大，尽管乍看之下它与阿基米德体系下连续函数的概念有相似之处，都是描述函数值随自变量变化的“平滑”特性。但由于非阿基米德空间具有超度量性质，二者存在显著差异。在阿基米德体系里，我们依据欧几里得距离定义连续函数，如同在平坦的欧几里得平面上测量距离。而在非阿基米德空间，超度量不等式改变了距离概念，致使函数连续性的表现不同。
理解这个概念的性质，对深入研究非阿基米德空间的函数分析、泛函分析等领域意义深远。它为探索该体系的数学结构奠定基础，宛如搭建起一座探索这个神秘数学世界的“脚手架”。在函数逼近、算子理论等方面，非阿基米德连续函数也发挥着关键作用，助力我们理解函数在这个特殊空间里如何“逼近”某个值，以及算子在此空间中的行为规律。同时，它为非阿基米德数学在物理、工程等领域的应用筑牢理论根基，例如在某些涉及微观物理现象或特殊工程结构的研究中，非阿基米德连续函数的概念或许能助力我们更好地描述和分析相关问题。
第八章：核心定理及证明
8.1 fxl相对无穷大定理D_{α₁}
fxl相对无穷大定理D_{α₁}是这一数学领域的核心定理，它揭示了函数在特定条件下的深刻性质。
该定理表明，如果一个函数在某点c局部发散到一种适用于闭域的相对无穷大状态。想象在这个空间的特定点c处，函数值如同火山喷发般迅速增长，但这种增长是在闭域环境下呈现出相对无穷大的态势。那么对于每一个包含c的有界闭区间，都存在一个相对无穷大函数。此相对无穷大函数犹如这个有界闭区间内函数行为的“放大器”。
使得在以c为中心的一个闭球上对这个相对无穷大函数乘以一个与测度相关的量进行积分，结果会得到适用于闭域的相对无穷大。进而对原来的函数在这个闭球上进行同样的积分操作，结果同样是适用于闭域的相对无穷大。这仿佛借助相对无穷大函数，我们能清晰展现出原函数在这个闭球内的“相对无穷大”趋势。
在阿基米德体系中，这个相对无穷大函数适用于所有有界闭区间，就如同在阿基米德的数学“舞台”上，只要是有界闭区间这个“场地”，该函数就能发挥其作用。在非阿基米德体系里，其适用范围是这个特殊空间里以任意点为中心、任意半径的闭球，意味着在非阿基米德的神秘空间中，无论在哪个点，以任何半径构建的闭球，此定理都可能“大显身手”。
8.1.1证明
首先，基于非阿基米德空间的拓扑结构特点，我们选取一组以c为中心，半径为p^n（n大于等于一定值k）的球来覆盖这个空间。这如同用一系列大小各异的“泡泡”（球）将该空间包裹起来，这种覆盖方式在研究非阿基米德空间函数局部性质时较为常用，为后续分析函数在c点附近的行为做好铺垫。
由于函数在c点局部发散到适用于闭域的相对无穷大，对于任意给定的极大数M，总能找到一个正数\delta。只要函数自变量与c点的距离在0到\delta之间，函数值就会大于等于M。这就像在c点周围存在一个“魔法圈”，一旦进入此圈，函数值便会急剧增大。对于每个包含c的有界闭区间，都存在相应的相对无穷大函数。
因为函数在c点局部发散，对于任意大的M，能找到一个自然数N。当n大于等于N时，在以c为中心、p^n为半径的球内，依据局部值域定理，这个相对无穷大函数在该球内的最小值会大于等于p^n。这就如同在这个特定的“泡泡”里，相对无穷大函数的最小值有一个下限，且随着n的增大，下限也在上升。
我们知道有一种测度叫\mu_p，它在这个特殊空间里具有可数可加性。并且以c为中心、p^n为半径的球的测度是p^{-n}。根据测度的可数可加性，将从k到无穷大的这些球的测度与相对无穷大函数在球内最小值的乘积相加，会得到该和大于等于从k到无穷大的p^{-n}×p^n相加。这就如同把一系列“小贡献”累加起来，看看最终的“总和”情况。
而从k到无穷大的p^{-n}×p^n相加，实际就是从k到无穷大的1相加，这构成一个无穷级数。当p大于1时，该级数的和会趋向于适用于闭域的相对无穷大。这就像我们持续累加1，最终结果会在闭域的概念下达到相对无穷大。
依据积分比较定理，对相对无穷大函数在以c为中心、p^k为半径的球上积分的下限，可由前面提及的测度与函数最小值乘积的和来估计。鉴于原函数在c点局部发散的行为与相对无穷大函数相关，所以当对相对无穷大函数在这个球上积分结果为适用于闭域的相对无穷大时，对原函数在这个球上积分结果同样为适用于闭域的相对无穷大，至此定理得证。这就像是借助相对无穷大函数这座“桥梁”，我们得以推断出原函数在该球上积分的结果。
8.1.2适用范围说明
需注意，该定理在非紧致空间不成立。例如，考虑从0到正无穷这个无界区间，假设有函数f(x)=x。虽然对于任意给定的M，在此区间内确实能找到x使得f(x)大于M，但无界区间不像有界闭区间那样，可用有限个球完全覆盖。这就如同在一片没有边界的大沙漠中，我们无法用有限个“帐篷”（球）覆盖整个沙漠。如此一来，便无法像定理证明中那样估计函数值下限以得出积分结论。
有界闭区间因具有紧致性，能用有限个球覆盖，从而可准确估计函数值下限并得出积分结论。这就好比在一个有边界的小花园里，我们能用有限个“遮阳伞”（球）覆盖整个花园，进而精确分析花园各处的情况。而非紧致的无界区间，因其无限延伸，不存在有限覆盖来确保准确估计函数值下限，导致积分发散性的判断与有界闭区间不同。这表明定理的适用范围依赖于空间的紧致性条件，空间性质对定理的成立与否起着决定性作用。
8.2（无穷小环结构）对应跨阿基米德fxl相对无穷小定理D_{α₂}
该定理具有独特的适用范围，针对的是满足特定条件的数的集合，即在非阿基米德空间里，到某个点距离的度量值小于1的那些数。在此范围内，非阿基米德无穷小环犹如一个神秘的“小世界”，由满足上述条件的数构成。
这个无穷小环是更大集合Z_p的极大理想，并且由Z_p与这个无穷小环构成的商环与有限域F_p同构。这就仿佛无穷小环在Z_p这个“大家庭”中有特殊地位，且与F_p存在紧密的“对应关系”，如同两个不同数学结构拥有相似的“基因”。
对于每一个包含在这个无穷小环内的有界闭区间，都存在相对无穷小函数。该函数在这个区间上积分后，结果在非阿基米德空间的意义下趋近于0，并且其性质与无穷小环的结构紧密相连。这就好像这个相对无穷小函数是无穷小环的“忠实伙伴”，其行为反映了无穷小环的某些特性。