γ函数——阶乘运算在实数域与复数域的推广

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γ函数（Gamma函数），也叫欧拉第二积分，是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是β函数，也叫欧拉第一积分，可以用来快速计算同伽马函数形式相类似的积分。

图片：γ函数的图像

γ函数（Gamma Function）作为阶乘函数的延拓，是定义在复数范围内的亚纯函数，通常写成Γ(x)，负整数和0是它的一阶极点。

γ函数的定义

γ函数的历史背景

1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列1,4,9,16……可以用通项公式（n↑2）自然的表达，数列2,4,8,16……可以用通项公（2↑n）自然的表达。即便n为实数的时候，这个通项公式也是良好定义的。直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线y=n↑2通过所有的整数点(n,n↑2)，以及一条平滑的曲线y=2↑n通过所有的整数点(n,2↑n)，从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。一天哥德巴赫开始处理阶乘序列1,2,6,24,120,720,…,我们可以计算2!,3!，是否可以计算2.5!呢？我们把最初的一些(n,n!)的点画在坐标轴上，确实可以看到，容易画出一条通过这些点的平滑曲线。