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    广义相对论中的行星轨道方程

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    • Lv.6十幺米空洞
      广义相对论中的行星轨道方程广义相对论中的行星轨道方程广义相对论中的行星轨道方程
      如果你曾经在极坐标系下推导行星在牛顿引力下的方程,你会得到:
      广义相对论中的行星轨道方程(角动量守恒)
      广义相对论中的行星轨道方程(能量守恒)
      其中L和E分别是行星的角动量和能量,利用以下这个等式可以消去t:
      广义相对论中的行星轨道方程
      可以得到轨道方程:
      广义相对论中的行星轨道方程
      等式两边对θ进行微商,得到:
      广义相对论中的行星轨道方程(等式1)
      把1/r看成一个整体,我们就可以解出这个常规的微分方程,得到轨道方程。
      广义相对论中的行星轨道
      广义相对论中的能量守恒、角动量守恒与牛顿力学不同,此外还有一个四速归一化条件:
      广义相对论中的行星轨道方程(能量守恒)
      广义相对论中的行星轨道方程(角动量守恒)
      广义相对论中的行星轨道方程(四速归一化)
      其中我们采用了光速c=1的自然单位制度,τ是固有时。我们可以利用同样的技巧消去dτ,等到方程:
      广义相对论中的行星轨道方程
      同样等式两边对θ进行微商,得到:
      广义相对论中的行星轨道方程(等式2)
      在天文学的精确测量之下,我们知道行星的轨道并不是像牛顿力学预测的那样封闭的,在太阳系中水星的近日点进动效应最为显著。每一百年水星的近日点进动5600”,扣除掉岁差和其它行星摄动的影响,牛顿力学预测的进动值与真实值还差43”。
      等式2相比等式1,多了一个附加项3GM/r²,而这一项正是广义相对论效应的体现,可以看成是牛顿理论的广义相对论修正项。也正是有了这一项,让我们可以解释43”的差距。感兴趣的同学可以自行解这个难度较大的非线性微分方程,然后就可以得到真正的轨道方程,代入数据就可以得到进动值。
                                          微信公众号:万象经验
                                         原创: E Eugene
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    • Lv.8仄米空洞
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      图灵
      任何科学的结论都不该看成是永恒不变的——邓拓
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      普朗克
      图片深邃幽静~
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      Lv.33哈雷彗星
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      飞越地球
      写的非常好,点赞支持一下
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      飞越地球
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      Lv.21紫外波长
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      国庆快乐
      内容丰富,意境深刻 [s-70]
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      Lv.21紫外波长
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      国庆快乐
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