你知道滚意味着什么吗？

博科园AI人工智能助手 图灵

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看到这个话题，是不是觉得太简单？这问题表面看很简单，但很多人却又没搞清楚，甚至完全理解错了。

 

作为一个物理学名词，滚动（rolling）其实并不简单。理解它需要从刚体运动的两种基本形式说起，它们是平动和转动。

 

提示：由于质点只能平动，不在考虑之内，所以本文中“物体”即指“刚体”，也就是形变可忽略的物体。

 

平动，就是物体只移不转；转动，就是物体只转不移。

 

什么？这样说好像有点晕哦。

 

的确有点乱，虽然这么说本身没错！但实际上，它们都有严格的定义的！

 

平动（translation）：物体内部任意两点之间的连线，在物体运动过程中，时刻都保持平行，则运动为平动。

 

比如像这样的。

 

 

转动（rotation）：物体上的任一点都在围绕某个确定的点做圆周运动。

 

很简单，就是这样的。

 

 

它俩按照不同的比例组合，就形成各种不同的运动了！

 

 

如果这种组合运动发生在某个面（平面或曲面）上，那么就习惯上就叫滚动。

 

看起来很简单对吧？

 

我们从最典型的滚动——纯滚动说起，它是指不打滑（slipping or skidding）的滚动，或者说由转动和平动按1:1的组合而成的。

 

可能你对“不打滑”三个字有点懵？

 

其实你可能想多了，你只要仅从字面理解即可。不打滑，就是不动呗！动是相对的，这里的动是相对地面来说的，因此不打滑就是指相对地面不动——好家伙，它不是在运动吗？怎么会对地不动？

 

这里说的“不动”是指“与地面接触的那个部位相对地面不动”。例如你走路的时候，你踏地的那只脚其实对地就没动，动的是另一只离地脚。

 

 

以车轮为例，如果它对地纯滚动，那么它与地面接触的那个点（车轮最低点）相对地就是不动的！我们来仔细分析一下。

 

在正式分析之前，我们先回顾一下经典力学中运动的相对性关系。

 

设有A、B和C三个质点，那么它们的速度的相对性关系可表示为此处下标的含义约定为“前者相对于后者”，例如  是A相对于B的速度。

 

上面速度符号中的下标的第二个字母就代表参照物，例如上式中  就是“选择B做参照物时，A的速度”。

 

速度的相对性关系表明，任何相对速度总可看作多个其他相对速度之和。

 

现在来看车轮最低点的速度。

 

如下图，车轮在滚动，设其半径为  ，绕中心角速度为  。

 

           

 

设车轮最低点的速度、最低点相对于中心点的速度以及中心点相对地面的速度分别表示为  、  和  表示。

 

很显然，  的方向水平向左，而  的方向水平向右，至于  方向未定，暂以带正负号的数表示。以向右为正，这三个速度之间的相对关系为 

根据线速度与角速度的关系， 车轮最低点相对车轮中心的速度为  ，方向水平向左。所以上式可写为 按上述不打滑的意思，车轮最低点的速度为零，所以必然有 

这就是车轮作纯滚动时，车轮中心速度与车轮转速之间的关系。

 

其实，不仅车轮中心速度满足此关系，对纯滚动的轮子，任何一点对地面的速度都等于轮子的角速度乘以该点到地面接触点之间的距离。例如车轮最高点的速度为  ，而最前方点的速度为  。

 

这一点很容易理解，既然车轮最低点不动，那么它与地面等价，轮上任何一点相对地的速度就是它相对最低点的速度，而它相对最低点的运动不就是以相应的距离为半径的转动吗？

 

没错！任何一点对地速度都为 其中  为该点到最低点的距离。

 

不过你可能有一点疑问，这里的  就是轮子绕中心转的角速度吗？

 

是的！可以证明，无论相对车轮上哪一点，车轮的角速度都是一样的。这叫做刚体角速度的绝对性。这里就不证明了，有兴趣可以自己去看看书。

 

讲到这里，你意识到一个问题，滚动的轮子上各点的速度大小不同？

 

没错！因为行驶中的自行车轮在滚动，而不是转动！

 

有经验的人会注意到，行驶中的自行车轮，越往上方的辐条看起来越模糊，就是这个原因导致的。

 

           

 

关于轮子的纯滚动，前面还提到了一个等价说法，它是“转动和平动按1:1组合的运动”。这话什么意思呢？

 

它是指轮子边缘上任何一点的速度是车轮整体的平动速度和它相对于车轮中心的转动速度按照1：1的比例叠加而成的。

 

这是显而易见的！

 

因为车轮整体带着所有点一起平动，速度为  ，方向水平；而车轮边上任何一点相对中心的速度大小为  ，方向沿切向。根据速度的相对性，它们的和就是该点的速度。而前面已经证明了，车轮做纯滚动时这俩速度大小相等。这说明，车轮边缘任何一点的速度总是等于两个大小相等的速度矢量的合成！这就是1：1比例的意思。

 

其实，纯滚动不限于轮子。看下面这些物体的运动，显然也是纯滚动——因为它们与地面接触点的速度都为零，物体上各点速度满足  。

 

           

 

讲完了纯滚动，再看非纯滚动。

 

很简单，非纯滚动就是接触点有打滑，也就是车轮最低点的速度 那么就有 所以对非纯滚动，车轮的边缘上的速度并不是按照平动与转动1:1组合的。而对任意刚体上任何一点来说，非纯滚动意味着  。 

 

如果再进一步分析，非纯滚动按  大于或小于  分成两种情况。

 

对  的情况，常发生于汽车刹车之时，也被称作滑移，译作slipping。为了描述滑移程度，定义滑移率如下 而  的情况常发生在汽车在加速启动时，也叫滑转，译作skidding，类似的，定义滑转率如下 其含义不言自明。 

 

例如，当你的行李箱轮子不转了，你只能硬拖了，这时候滑移率100%，你的行李箱的刹车性能太好了；当你的车轮深陷泥沼时，轮子转的飞快，但车子一点都没移动，此时滑转率为100%。

 

关于滚动，就讲这么多了。

 

如果刚体的运动没有局限在一个面上，就不叫滚动，而是刚体的一般运动。刚体的一般运动比较复杂，此处暂且不表。

 

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                                     原创:薛德堡