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    时光机与任意门(第二期)

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      主题:时光机与任意门(第二期)

      科目:物理/宇宙学

      难度:B1-B2

      时间:2020.2.1

      讲师:弦轴子 

      上回(39期)我们介绍了史瓦西版本的爱因斯坦——罗森桥,不过很可惜的是这个桥是不可穿越的洛伦兹虫洞,因为它仅能通过类空曲线,不允许类时曲线和类光曲线穿过。


      所以正常我们宇宙中的物体是不可能穿过的,包括光也是。


      只有超光速的东西才可以穿过,因为超光速的物体的世界线是类空的。


      不过这个结论是如何得出来的呢?我们可以简单的看一下。


      为了能看懂我们接下来要讲的,要先介绍几个概念。


      第一个就是时空图。


      最简单的时空图就是横轴是空间,纵轴是时间。

      时光机与任意门(第二期)

      通常是以观察者自身为原点中心,每一点代表事件的时空位置。事件的轨迹代表的是世界线,或者是在时空的轨迹。

      时光机与任意门(第二期)

      这两条线是相对于观察者本身相对静止的物体的世界线和相对于观察者相对运动(以某个匀速运动)的物体的世界线,如果是变速运动那么世界线将是一个曲线。


      对于一个相对静止的物体,它的空间部分没有动,但它时间部分动了(因为时间是一直向着未来流逝的)。对于相对运动的物体,它的空间部分在走,时间部分也在走。


      斜率就是物体相对于观察者的运动的速度。


      这里有一个特殊的地方,也就是45度的时候,斜率是1。


      这其实是光走的路,


      因为光速不变,所以我们可以令c=1


      t轴其实在物理上是ct,


      还记得时光机与任意门(第二期)吗?


      时光机与任意门(第二期)这个才是原来样子。数学上可以直接加减,但是物理上运算要考虑量纲,所以采取的方法就是时间空间化,时间坐标乘上一个带有速度量纲的东西,但是这个东西最好要固定,不随参考系的选择而变化。因此,光速很明显是个合适的任选者。


      这个四维坐标是ct。乘上c是没有关系的,因为光速不变。


      所以其实这个时空图纵轴是ct。如果令c=1,那么竖轴的写成t了。


      顾名思义这种单位就叫做几何单位制。

      时光机与任意门(第二期)

      这条45°斜直线就代表了光子的世界线,任何小于光速运动的,世界线就在上面,大于光速的就在下面,靠近r轴。


      说完时空图,我们介绍闵可夫斯基时空的时空图。


      众所周知,物理上,四维微分流形附带洛伦兹型度规就是时空。洛伦兹型度规就是4×4矩阵,其对角元一正三负或者一负三正,对角元之和就是号差,为+2或者-2。


      因此,闵可夫斯基时空就是四维微分流形附带闵可夫斯基度规亦即:时光机与任意门(第二期)

      闵可夫斯基度规为:

      时光机与任意门(第二期)

      闵可夫斯基时空时空线元为:

      时光机与任意门(第二期)

      我们采用球坐标系时光机与任意门(第二期),把上面在直角坐标系时光机与任意门(第二期)中的闵可夫斯基时空线元改为:

      时光机与任意门(第二期)

      忽略后面那串时光机与任意门(第二期),我们这里只考虑t与r。


      为了方便,时光机与任意门(第二期)下面也就不写。

      时光机与任意门(第二期)

      现在我们来看看闵可夫斯基时空的时空图长啥样子。

      时光机与任意门(第二期)

      我们就来介绍一下这几个字母分别代表什么意思?


      t是时间,r空间坐标。


      时光机与任意门(第二期),代表的是,对于r取任意一个有限值时,t趋于正无穷大。它是所有类时世界线时光机与任意门(第二期)延伸的区域,时光机与任意门(第二期),被称之为类时未来无穷远。


      时光机与任意门(第二期),代表的是,对于r取任意一个有限值时,t趋于负无穷大,它是所有类时世界线时光机与任意门(第二期)延伸的区域,时光机与任意门(第二期),被称为类时过去无穷远。


      时光机与任意门(第二期)也就可以理解了,它是对于t取一个有限的值,r趋于无穷大时,所有类空世界线时光机与任意门(第二期)延伸的区域,被称为类空无穷远。


      剩下两个花体字母时光机与任意门(第二期),跟代表的类时世界线的时光机与任意门(第二期)一样,不过它代表的是所有类光曲线时光机与任意门(第二期)延伸的区域,也就是运动速度到达光速时候的世界线延伸的区域。


      时光机与任意门(第二期)是(t-r)取的是有限值,t+r趋于无穷大,所有射出的未来类光世界线的区域,被称为类光未来无穷远。


      时光机与任意门(第二期)是(t+r)取的是有限值,t-r趋于无穷大,所有射入的过去类光世界线的区域,被称为类光过去无穷远。


      但是其实这些无穷远点(空间上的还有时间上的)在这图上面表达不出来,并且这个无穷远并不是某一个无穷远处点,也不是某个时空区域。它代表的含义是某个时空点变动趋势的概念(比如,类时无穷远就是当r取有限值,t趋于无穷大),所以你在时空图上没办法说哪块区域或哪个点能代表这个无穷远点。而且当我们用时空图去描述有引力情况下或者是黑洞附近时空情况的时候,我们会发现光线的世界线会弯曲,也就是不会保持45度角。


      于是有人就想把这些无穷远点压缩到一个有限的距离,距离越远越趋近于0,那么当趋于这些无穷远时就是趋于0,并且能够保光锥45度(类光世界线45度夹角)。


      于是彭罗斯图就出来了。下面来介绍第二个概念:

      彭罗斯图

      彭罗斯图是闵可夫斯基时空图的广义相对论推广,它是一个共形图或者说是经过共形变换。


      所谓的共形变换可以认为是保角变换,所以就不难看出为什么在广义相对论中扩展这个东西。同时它可以改变尺度,其特征就是趋于无穷远时趋于0,而这正是我们要找的。


      现在我们来简单看一下闵可夫斯基时空的时空图是怎样经过共形变换得到闵可夫斯基时空的彭罗斯图的。


      首先,我们依旧采用球坐标系时光机与任意门(第二期)


      闵可夫斯基时空时空线元为:

      时光机与任意门(第二期)

      后面那串时光机与任意门(第二期)就不看它了,只考虑t与r。


      为了方便,时光机与任意门(第二期)下面也就不写了。

      时光机与任意门(第二期)

      时光机与任意门(第二期)

      此图是闵可夫斯基时空“无穷远”的示意图,此图中一点对应着一个r=常数的球面。


      引入坐标变换时光机与任意门(第二期)


      时光机与任意门(第二期)

      时光机与任意门(第二期)

      在广义相对论中,如果时空的尺度发生压缩,还用原来的时空图,光锥的角度就势必会变化。为了保持原时空中45度角的光锥不变,所以在广义相对论中用这个东西。

      时光机与任意门(第二期)

      等时间线和等空间线上,对应的时间和空间坐标是相同的,在这里是弯曲的,是为了使原来是45度的光锥亦即光的世界线夹角无论在什么情况下都保持45度。


      所有低于光速运动的观察者走的世界线一定是这些等空间线或者平行于它们的其它世界线。

      时光机与任意门(第二期)

      当然,通常你们看到的彭罗斯图是没有把那些等时间线和等空间线表达出来的。


      关于彭罗斯图具体怎么来的?数学形式是什么?这里就不讲了,感兴趣的可以去翻任何一本广义相对论的教材都有解释。

      现在我们考虑史瓦西时空,


      史瓦西时空就是四维微分流形附带史瓦西度规亦即:时光机与任意门(第二期)


      史瓦西度规为:

      时光机与任意门(第二期)

      史瓦西时空时空线元为:

      时光机与任意门(第二期)

      我们采用球坐标系时光机与任意门(第二期),上面在直角坐标系时光机与任意门(第二期)中史瓦西时空时空线元改为:

       时光机与任意门(第二期)

      史瓦西时空线元来源于爱因斯坦场方程的史瓦西解。它是假设一颗天体没有自转,是静态,以及它的引力场具有球对称性。有了这些限制条件就可以大大减缓难度。我们可以将直角坐标系的时光机与任意门(第二期)改成采用球坐标系时光机与任意门(第二期),这样更容易看出球对称性。


      这样我们将会得到一个应该是第一个最精确场方程的解一一史瓦西解。它是描述静态没有自转而且具有球对称性的时空。但是它分了两部分,一种是天体内部的,还有一种是外部的真空解。


      球坐标系下的史瓦西时空的时空度规线元是这样的:

      时光机与任意门(第二期)

      现在我们来看看史瓦西时空的时空图长啥样子。

      时光机与任意门(第二期)

      可以看到,越靠近于史瓦西黑洞,这些世界线就越弯曲,即使是光线也不例外,而且光线再也不是保持45度夹角了。对应的就是光锥越来越扭曲,前端越来越窄,这意味着低于光速的观察能够选择的空间越来越小,越靠近于黑洞,就越来越窄,最终只能选择撞上事件视界这条路。


      不过这张图并不准确,因为光锥是高度扭曲的,不能保持45度夹角。

      因此,如果我们采用彭罗斯图,就会更好一点。


      那么史瓦西时空的彭罗斯图就是这样子的。(与我们上面定义闵可夫斯基时空的彭罗斯图类似,有能力的读者可以自己推导一下,练练手)

      时光机与任意门(第二期)

      从彭罗斯图可以看到直观清楚的看到物体到黑洞内部会发生什么。


      我们会发现,此时的时间的尽头再也不是未来时间无穷远处而是奇点处。


      说明到达黑洞内部的物体会不受任何阻碍的撞向黑洞奇点处,就如同外界的人时间会向未来流折逝一样。这种现象被称为时空坐标互换。因为在这里时光机与任意门(第二期),我们说过,时空度规的一正三负正好对应着一个时间和三个空间(这么说可能并不准确。但是,在我们这里所写的时空度规前提下,这样说是可以的。有的选取不一样,有些领域,时空度规的对角元素会是一负三正,那在这种情况下,一负三正正好对应着一个时间和三个空间),但是这里的时空度规对角元素00项与11项正好颠倒,负的代表时间,而正的代表空间。谁大于零就代表空间的角色。因此,在这里时间坐标t充当空间的角色,而是空间坐标r充当时间的角色。


      史瓦西黑洞的奇点/奇异性,也就是r=0变成一个等时面。这个面跟时间方向垂直。这种奇异性被称为类空奇异性,所以史瓦西奇点被称为类空奇点。


      而且我们可以知道,即使在这个时候光锥仍然是45度角,也就是无论什么时候光速始终不变,始终是真空中的那一个定值。


      并且黑洞是一个单向膜,黑洞内部没有一个物体能够离开黑洞,它们都会撞向奇点。


      我们都知道,黑洞内部有一个奇点,它会导致时空曲率发散,通俗来讲就是引力无限大。


      球坐标系下的史瓦西时空的时空度规线元是这样的:

      时光机与任意门(第二期)

      这里我们可以知道有两个地方可以导致发散,第1个地方就是当r=2M时,也就是事件视界处。第2个地方是当r=0时,也就是黑洞奇点处。


      我们讨论第1个地方,这个地方的发散导致我们必须用两个坐标才能描述黑洞外部和黑洞内部。任何计算,包括时间都将在这事件视界处发散,无限大。这也就是通常讲的,对于黑洞外部的观察者来看,越靠近黑洞事件视界的时间变得越慢,到黑洞事件视附近处,对于外界观察者来看几乎是无穷长的时间了。但是其实这种情况是我们采取一个不完善的坐标导致的。我们采用的史瓦西坐标并不能描述事件视界这处,这就好比极坐标无法描述原点一样,但是直角坐标系就可以。因此我们可以选择合适的坐标系来消除这种发散的地方,我们也把这种发散称之为坐标发散。当然对于第2个地方,黑洞奇点处的发散是时空本身的发散,换任何坐标系都没用,估计只能换理论。


      最终人们找到了能够覆盖整个史瓦西时空的坐标系,被称之为克鲁斯卡坐标系。


      史瓦西坐标与克鲁斯卡坐标之间的关系是这样的:

      时光机与任意门(第二期)

      史瓦西时空中的线元就可以变成这样:

      时光机与任意门(第二期)

      时光机与任意门(第二期)就是引入的克鲁斯卡坐标,由于 前面的系数是负的,其他三个前面的系数是正的,包括 的。因此,我们可以判断,T是时间坐标,R为空间坐标的某一个。


      我们也可以得到r,T,R三者之间的关系,它们为:

      时光机与任意门(第二期)

      这样可以发现,在克鲁斯卡坐标系中,r=2M处的奇异性消失了,也就是坐标不再发散。


      因此,其实之前对于黑洞事件视界处的时间无穷大的推论是错误的,或者说时间坐标是发散的,但是物体实际经历的时间或者是固有时间不是发散的,是一个有限值。也就是说物体掉落黑洞这个过程的时间是有限的。


      这样引入的克鲁斯卡坐标系就可以统一整个史瓦西时空,那么这个时空图是什么样子呢?

      时光机与任意门(第二期)

      这里,上面两个双曲线r=0代表的是奇点处,两个双曲线的渐近线代表的是事件视界。


      左右两个区域代表两个宇宙。F区,代表的是黑洞区,P区代表的是白洞区。


      可能这样很难理解,但是当我们画出它的彭罗斯图时,一切就明朗了。

      时光机与任意门(第二期)

      我们可以发现,在白洞区附近,任何物体都要离开,在白洞区内部,没有任何东西可以到达奇点处的。


      左右两个宇宙是没有任何因果关联的。


      说到这里,还记得我们用史瓦西时空构造出来连接两个平坦时空的爱因斯坦——罗森桥吗?


      就是这个玩意。

      时光机与任意门(第二期)

      这个Q点处,其实在这张彭罗斯图上就是O点处,它是连接这两个宇宙的。

       

      但是没有任何一条类时、类光世界线可以经过,能够经过的就只有类空世界线,可那只有超光速才可以。


      因此,这样构造出来的爱因斯坦罗森桥其实是不可穿越的虫洞。

      参考引源:

      《广义相对论基本》,赵峥,刘文彪

      《广义相对论》,刘辽,赵峥

      《黑洞的热性质与时空奇异性–零曲面附近的量子效应》,赵峥

      《黑洞与弯曲的时空》,赵峥

      《微分几何入门与广义相对论》上中下册,梁灿彬

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