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    宇宙如何运行的答案,或许就藏于八元数之中,非常令人着迷!

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      居里夫人

      许关于宇宙最值得注意的事实是,宇宙中的每一个粒子,无论何时、何地、在任何条件下,都遵循完全相同的物理定律。自然界遵循的规则对万物来说都是相同的,通过找到描述这些规则的数学结构,我们也可以描述自然。通常,发现一种新的数学结构,会产生一种新物理框架的发展,而在该框架准确描述宇宙的地方,就可以推导出新的物理学。对于宇宙来说,最令人着迷的数学可能性之一是八元数

      宇宙如何运行的答案,或许就藏于八元数之中,非常令人着迷!

      元数有机会成为宇宙如何运行的答案?还是仅仅是炒作?下面让我们从头开始:从物理基础上的数学开始,一起来探索答案吧!如果你在数学上所掌握的只是实数概念,你仍然可以走得很远。从伽利略到牛顿,从库仑到麦克斯韦,整个经典物理学都建立在实数的基础上。力定律、运动方程和更多的东西都可以推导出来,而不需要求助于比实数集(包括变量、常数和相关函数)更高级的数学。

      宇宙如何运行的答案,或许就藏于八元数之中,非常令人着迷!

      (图示)要可视化单位八元数的乘法,需要在更高维度的空间中思考(左图),(右图)是任意两个单位八元数的乘法表。

      但这已经需要一个花了几千年才发展起来的数学飞跃:将负数包括在内的飞跃。当你把球扔向空中,问它什么时候会落地,你会得到两个关于时间的答案:一个是肯定的,一个是否定的。有时,任何一个答案都可能是正确的,但仅靠数学不能告诉你适用于哪种情况。为此,你需要问题的物理条件,这就是你如何决定哪个答案是相关的。但是,实数(即使同时包括正数和负数)其数学结构的复杂性也是有限的。

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      (图示)牛顿万有引力定律(L)和静电库仑定律(R)的形式,几乎与它们的力定律相同,可以解出经典宇宙图像中粒子的运动方程,解这些方程不需要比实数更高级的数学。

      例如,任何实数,当你平方它时,不管你开始的实数是正数还是负数,总是得到一个正数。但是,如果尝试取实数的平方根,则只有正数才会给出实数结果。负数的平方根没有很好的定义,如果我们把自己限制在实数集上,无论如何都不是这样。但是有一种新的数学结构可以添加到折叠中,它不仅可以定义负数的平方根,还可以执行仅使用实数不可能进行的新数学运算。这一进步需要完全引入一组新的数:虚数和复数,其中虚数i被定义为√(-1)。

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      (图示)这张弹跳球的闪光灯图像,你不能确定球是向右移动并在每次反弹时失去能量,还是向左移动并在每次反弹时获得能量的踢。物理定律在时间反转变换下是对称的,运动方程会给两个解(正的和负的),所以就可以推导出任何轨迹,只有通过施加物理限制,我们才能知道这两个中的哪一个产生了正确答案。

      实数只有一个实数部分,由实数定义:a,但是复数既有实数部分,也有虚数部分a+bi,其中a是实数部分,bi是虚数部分(B也是实数)。通过从实数学到复数的数学(包括复杂群论的数学),一套全新的物理现象可能会出现。量子物理学不同寻常地利用了这一点,指出执行量子操作的顺序产生了巨大差异。对于实数,你是乘2*3还是乘3*2都无关紧要;你会得到同样的答案,同样对于复数,(2+5i)*(3-4i)与(3-4i)*(2+5i)相同。

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      (图示)你可以添加一个假想轴并在复杂平面中移动,而不是仅沿实轴来回移动,实数和复数的结合形成了一种,比实数更丰富的数学结构,并产生了有趣的物理结果,而这些结果并不是仅从实数数学中产生的。

      但是对于量子操作者来说,顺序是非常重要的,如果你先测量一个量子粒子在x方向上的自旋,然后再在y方向上测量,这个粒子的性质,将与你以相反顺序测量它的性质有根本不同。这个属性称为非交换性,需要复数的数学而不是实数的数学(特别是复向量空间)才能解释它。一个复数的平方可以得到一个负的结果,这一事实催生了狄拉克方程革命性的数学解,预测了“负量子态”的存在。狄拉克最初称这些状态为“空穴”。

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      但不久之后,物理学家们意识到真正发生了什么:这是反电子或正电子形式的反物质第一个理论预测,其实验证实是现代量子物理学发展过程中最重要的发现之一。你可能会直观地认为,如果能找到一种更复杂、更一般的数学结构来扩展复数(就像复数扩展实数的方)就可以找到一个新物理应用。如果你试图取一个复数的平方根,不管它的实部和虚部是正数还是负数,总是会得到一个复数,所以这条路线不会给你带来更丰富的数学结构。

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      (图示)多个连续的斯特恩-格拉赫(Stern-Gerlach)实验,根据量子粒子的自旋沿着一个轴分裂量子粒子,将在垂直于新测量方向上造成进一步的磁分裂,但不会在同一方向上产生额外的分裂。

      但是有一个固有的非交换扩展可以应用于复数:不是让i2=-1,而是定义三个独立的实体,i,j和k,其中i2=j2=k2=-1,但是组合i*j*k=-1。这组四重因子,得到的不是实数(A)或复数(a+bi),而是所谓的四元数:a+bi+cj+dk。四元数在数学中非常有用,但它们也与大量的物理应用有关。复数表示二维平面(具有实轴和虚轴)中的点,而四元数具有足够的维度和自由度来描述三维空间中的点。洛伦兹变换使用四元数组,它描述了当接近光速时,长度如何收缩和时间如何膨胀。

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      (图示)所谓的“狄拉克海”源于求解基于复向量空间的狄拉克方程,该方程同时产生正负能量解,负解很快就被确认为反物质,特别是正电子(反电子),并为粒子物理学开辟了一个全新的世界。

      广义相对论可以与现代代数中的四元数联系起来,弱相互作用涉及四元数,三维空间旋转也是如此。如果将系统旋转360度,某些量子现象就会反转,但如果你再次旋转720度,就会恢复正常。四元数基本上是不可交换的,并解释为什么将三维对象绕一个轴旋转,然后再绕另一个轴旋转,最终状态与绕相同的两个轴旋转相同的对象不同,但顺序相反。所以,你可能会想,能把四元数延伸得更远吗?有没有其他方法来利用数学,在那里有另一种选择来打开一个更丰富的结构?

      宇宙如何运行的答案,或许就藏于八元数之中,非常令人着迷!

      答案是肯定的,但这是有代价的,更复杂的数学结构的下一步是从四元数到八元数,每个八元数有八个元素。对于四元数,乘法顺序很重要,因为Q1*Q2与Q2*Q1不同,但四元数仍然是可结合的。如果有三个四元数(q1、q2和q3),则(q1*q2)*q3=q1*(q2*q3)。但是如果你有三个八元数,它们既是非交换的,也是非结合的;乘法顺序不仅重要,而且以这种全新的方式很重要。四元数的数学与许多已知物理理论有关,而八元数的数学描述是超越已知物理的运算。

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      (图示)此图表示乘以四元数值i、j和k,分别由红色、绿色和蓝色箭头表示,请注意它们如何在实数、虚数和另外两个基本四元数(j和k)之间转换。

      描述出现在扩展中的现象,如大统一理论(GUTS)和弦理论。虽然八元数在物理学中的应用还只是猜想,但有很多很好的理由让我们对这些想法感兴趣。八元数可以告诉我们,从理论上讲,构建超对称量子场论需要多少时空维度。它们与特殊的李群联系在一起,这些特殊的李群被用来构建量子场,并通过E(8)群在超弦理论中发挥作用。我们在上文中讨论的四类数(实数、复数、四元数和八元数)在抽象代数的数学领域中是特殊的。

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      (图示)费曼图(上)基于点粒子及其相互作用,将它们转换成弦理论的类似物(下),可以得到具有非平直曲率的曲面。在弦理论中,所有粒子只不过是一种潜在、更基本结构的不同振动模式:弦。但是,与弦理论有着紧密联系的八元数,真的在宇宙中扮演着重要角色吗?或者这只是数学问题?

      不会是宇宙运行的“答案”

      这四类代数是唯一可以将一个数除以除零以外的任何数,而不会得到未定量的代数,这使它们成为唯一存在的赋范除法代数。如果你试图将八元数扩展成一个16元的代数,就会得到七元数,它们遵循它们自己的非交换、非结合乘法规则,但如果试图合并除法,就会失败。八元数本身永远不会是宇宙万物如何运行的“答案”,但它们确实提供了一种强大、广义的数学结构,具有自己独特的性质。它包括实数、复数和四元数的数学,但也引入了从根本上独特的数学性质。

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      (图示)七元数的乘法规则,即扩展8元素八元数的16元素代数,根据非交换、非结合的数学规则,这不会造成问题。但是对于没有赋范的除法代数,这就是为什么科学家们在寻找物理应用时不进一步扩展八元数的原因。


      这些性质可以应用于物理学,以做出新颖的预测,八元数可以给我们一个想法,从已知物理的扩展来看,哪些可能性可能是令人信服的,哪些可能不那么有趣,但八元数本身并没有预测到具体的观测结果。八元数之于物理学,就像塞伦斯之于尤利西斯,八元数也绝对有诱惑力,八元数数学结构具有难以置信的丰富性,但没有人知道这种丰富性对我们的宇宙是否意味着什么,更多的宇宙奥秘和数学,要有待进一步的发现和探索,例如从1、2、3…9之后,人类才突破了有0的概念


      文:Ethan Siegel/Forbes Science/S.W.A.B

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