1.问题的提出
对于正整数x定义函数f(x),首先当x为奇数f(x)=(3x+1)/2,否则当x为偶数f(x)=x/2…………(1)
在由x求f(x), f(f(x)), f(f(f(x))),…的时候形成了一个序列
{ x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))),…}……………(2)
若x=7, f(7)=(3*7+1)/2=11, f(f(7)=)=f(11)=(3*11+1)/2=17, 同理f(f(f(x)))=f(17)=26, f(26)=13, f(13)=20, f(20)=10, f(10)=5, …
这个时候序列(2)就是
{ 7, 11, 17, 26, 13, 20, 10, 5, 8, 4, 2, 1, 2, …}
这里所关心的是序列中的奇数, 相邻的奇数是递增的序列.
2.连续递增的奇数序列的通项
上面序列中的递增的奇数序列a[0]=7, a[1]=11, a[2]=17, 另外有两个数5和1, 称它们为孤立数,都用a[0]表示. 无论递增的还是孤立的,通项都由下面给出.
对于每一组非负整数 j,k都能得到一个递增(或孤立)的奇数的序列{a[n]}并且
a[n]=-1+2^(1-n+k)*3^n*(2+3*j),(j为奇数)
a[n]=-1+2^(1-n+k)*3^n*(1+3*j),(j为偶数)……(3)
其中n=0,1,2…,k
对于k=0, j为任何非负整数,a[0]都是孤立的奇数,k>0得到递增的奇数序列,递增序列的长度有k确定.
孤立的奇数. k=0, n=0, a[0]=1,9,13,21,25,33,37,… 在序列(2)中孤立数的前面和后面都是偶数.
对于每一组非负整数 j,k方程 a[0]=f(x) 没有正奇数解, 而f(a[k])必定是偶数.
3.任何正的奇数都是都是由(3)得到序列a[0],a[1],a[2],…中的一个数
任取一个奇数如果能得到j, k, n就知道这个数是属于哪一个递增的序列,下面就给出这个方法. 比如x=359,第一步求a, a=(x+1)/2=(359+1)/2=180; 第二步求n, 首先把a分解, 180=2×2×3×3×5, 记住180有两个因子2还有两个因子3, n=(a中因子3的个数)=2, 第三步求k, k=(a中因子2的个数)+n=(2)+2=4; 最后一步求j, j=a/(3^(n+1)×2^(k-n) )=180/(3^(2+1)×2^(4-2) )=180/(27×4)=5/3, 只取整数部分j=1. 这样就是n=2, k=4, j=1(奇数), a[n]=-1+2^(1-n+4)*3^n*(2+3*1)=-1+5*2^(5-n)*3^n, 令n=0,1,2,3,4得到 a[0]=159, a[1]=239, a[2]=359, a[3]=539, a[4]=809. 所以x=359是序列159,239,359,539,809中的一个数.
那么这个序列是不是(2)中的一部分呢? 答案:是的. 因为f(159)=(3*159+1)/2=239, f(239)=(3*239+1)/2=359, f(359)=(3*359+1)/2=539, f(539)=(3*539+1)/2=809, 而f(809)=(3*809+1)/2=1214, … .
对于不同的初始正整数, 按照f(x)的算法, 会产生不同的序列(2), 在所有这些序列中, 有许多孤立的奇数和许多的递增的奇数序列, 序列中的偶数其下一个数就不是递增的, 每一个序列(2)有的部分是递增的,也有的部分递减, 不同的序列有不同的趋势, 有一种3x+1猜想是说任何一个序列(2)中必然包含1, 但是没有人证明.
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