注水定理的证明

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作者：phy-东西

审核：水缸

1、  问题描述

“注水定理”解决的是信息论中的一个基本问题：以总容量最大化为目标的AWGN信道功率分配方案优化。该问题描述如下：有 K 个并联 AWGN 信道且噪相互声独立，噪声功率依次为  。总功率受限于 P，求出使 K 个并联信道功率最大化的功率分配方案。

写做优化问题格式为：

（1.1）

2、  一个简单的证明

在这一节中我们给出一个比较便于理解的推导。

有的人可能觉得直接将所有功率分配到最好的（噪声功率最小的）信道里就可以，但信道容量的表达式是 ，随功率增加，增长的幅度越来越小，这种想法启发我们每次将功率分配到容量增长幅度最大的信道中。

假设我们已有一个初始功率分配方案 ，满足：

显然 也是一个合理的初始化方案。假设一正数代表接下来要分配的功率：

若把 δ 功率分配到第 k 个信道中，则信道容量增加：

（2.1）

不难发现应该将功率分配到 最小的信道中。如果每次选取的 δ 尽可能小，则将功率完全分配后，一部分信道的功率分配满足 为定值，对于另一部分较差的（噪声功率较大的）信道， 大于该定值，则不分配功率，即：

（2.2）

其中 p⋆ 满足

如果对于某一个分配方案若，我们置，对于状态 ，根据之前的推导，把 δ 分配到信道 j 比分配给信道 i 能获取 更多的信道容量。重新分配后  或 pi = 0（此时 ）。

3、 一个严谨的证明

我们重写 (1.1) 为

(3.1)

−ln(·)是一个凸（convex）函数，即目标函数是一个凸函数，同样的，也不难证明可行域  <span style=”color: rgb(31, 31, 31); font-family: –apple-system, BlinkMacSystemFont, ” segoe=”” ui”,=”” roboto,=”” oxygen,=”” ubuntu,=”” cantarell,=”” “fira=”” sans”,=”” “droid=”” “helvetica=”” neue”,=”” arial,=”” sans-serif;=”” background-color:=”” rgb(255,=”” 255,=”” 255);”=””>是凸的。即该优化问题是一个凸优化问题，拉格朗日函数为：

(3.2)

其 KKT 条件为

式 (3.3a) 可以重写为

(3.4)

如果，则 ，与 (3.3b) 矛盾。故，由 非负性可知 不全为零。

不妨假设 ，因为 不可能全为零，对应的 为零，对于这些 的信道：

（3.5）

如果 > 0，则 = 0，有：

（3.6）

由于 单调递增，则有：

（3.7）

即上文所提到的，对于好的信道（ = 0），分配功率  满足 为定值，对于差的信道（ > 0，应当注意的是(3.7)指出，如果噪声功率为 的信道是差信道，则噪声功率更大的信道也是差信道），则不分配功率，直到功率分配尽为止。 即上文的 p⋆。

4、连续并联信道的注水定理

对于某一变换域（如频域上）的有色噪声 ，注水问题的优化可以写作：

（4.1）

构造拉格朗日泛函：

(4.2)

其 KKT 条件为：

上式中 δp(f) 是 p(f) 的变分。

当 > 0 时（类似于前文的“差信道”）， p(f) ≡ 0，进而有 δp(f) = 0。反之当 p(f) > 0 时， ≡ 0（类似于前文的“好信道”），此时 。综上：

（4.4）

其中 p⋆ 满足

（4.5）

说了半天为什么叫注水？就是说把 当作碗，功率是水往里倒，分配功率的地方，噪声功率加信号共功率（水平面）是平的，高出水面的噪声说明信道很差，不予分配功率。