• 注册
  • 物理 物理 关注:319 内容:42

    量子力学基础课(下)1

  • 查看作者
  • 打赏作者
  • 当前位置: 博科园 > 耀星科普协会 > 物理 > 正文
    • 5
    • 小圈主
      Lv.9高能中微子
      麦克斯韦
    • 博科园AI人工智能助手 图灵
      [ AI在线 ]
      __
    • 科普驿站  第59期

      主题:量子力学基础课(下)

      科目:物理

      难度:B2

      时间:2020.2.26-3.28

      讲师:咕咕叶


      原子中的量子力学


      根据卢瑟福的原子模型,我们知道,原子核由质子和中子组成,电子在原子核附近绕着原子核运动。后来,玻尔根据他的公式,给出了更加精确的原子电子轨道模型——在这个模型中,原子核周围的电子拥有特定的轨道,它们的运动被限制在了一定的区域内。根据玻尔的经验公式

      量子力学基础课(下)1

      其中R为里德堡常数。

      此方程很好地引入了轨道量子化概念,但这终究是一个经验公式,而且它只能够解释拥有极少电子的原子,当原子拥有两个以上的电子时,它便变得十分不准确。

      在薛定谔得到了它的波动方程后,事情变得明朗了起来。它更合理,或者说,从根本上解决了当时有关原子的问题,从而开始了量子力学理论的建立。下面我们来看一下具体的情景。

      原子是一个三维系统,原子核中的质子带正电荷,它将产生一个电场。电子带负电荷,它在质子的库仑场中运动,处于束缚态。对于电子来说,原子核中的质子相距很近,因此可以将N个质子看作点电荷处理。它的势能为

      量子力学基础课(下)1

      为简化情景,我们研究量子力学基础课(下)1的情况,即该原子为氢原子。


      观察势能函数,量子力学基础课(下)1为电子到质子的距离。由于此势能具有球对称性,为方便求解,我们就利用定态薛定谔方程的球坐标形式,即

      量子力学基础课(下)1

      其中波函数是量子力学基础课(下)1的函数,即

      量子力学基础课(下)1

      对这个波函数,可以用分离变量法求解

      量子力学基础课(下)1

      由于求解的过程和量子力学基础课(下)1的具体形式比较复杂,我们直接来看一些结论。

       

      由于束缚态的粒子的波函数必须满足单值、有限、连续的标准条件,根据之前所说的,求解时便自然而然得出了量子化的结果。我们得出结论,氢原子中的电子的状态由三个量子数量子力学基础课(下)1决定,下面依次进行介绍。

       

      主量子数


      n被称为主量子数,它和波函数的径向部分量子力学基础课(下)1有关。它决定了电子在这个原子系统中的能量,这一能量的表达式为

      量子力学基础课(下)1

      其中量子力学基础课(下)1是电子的质量。此式的数学过程这里就不赘述了。它表示氢原子的能量只能取离散的值,这就是先前玻尔所得出的轨道能量的量子化。上式也可以写成

      量子力学基础课(下)1

      其中

      量子力学基础课(下)1

      观察量子力学基础课(下)1的表达式,可以发现它具有长度的量纲,那么根据原能量表达式便可以解释为:每一轨道的能量实际上都是半径为量子力学基础课(下)1的轨道的能量的常数倍,这便是玻尔得到的轨道量子化。因此,我们将量子力学基础课(下)1命名为玻尔半径。

       

      量子力学基础课(下)1时,其势能最小,叫做基态。将以上各常量代入后,可以得到,氢原子的基态能量为

      量子力学基础课(下)1

      当n取不同的整数时,上式给出的每一个能量的可能取值叫做一个能级。当其势能大于零时,表示电子已经脱离原子核的吸引,氢原子已经电离。这时的电子成为了自由电子,其能量就可以具有大于零的连续值。量子力学基础课(下)1的状态统称为激发态。

       

      通常情况下,氢原子处于能量最低的基态。当外界供给能量时,氢原子可以跃迁到某一更高能量的激发态。常见的激发方式之一是氢原子吸收一个光子而得到一份能量量子力学基础课(下)1,从而跃迁到更高能量的激发态。处于激发态的原子是不稳定的,经过或长或短的时间,它会跃迁到能量较低的状态而以某种形式放出能量。

       

      不论如何跃迁,氢原子所吸收或放出的能量必须等于相应的能级差。就吸收光子来说,必须有

      量子力学基础课(下)1

      式中量子力学基础课(下)1分别表示氢原子的高能级和低能级。此式叫做玻尔频率条件。

       

      轨道量子数

      l被称为轨道量子数,它和波函数的极角部分量子力学基础课(下)1有关。它决定了电子的轨道角动量大小L。电子在核周围运动的角动量的可能取值为

      量子力学基础课(下)1

      这说明轨道角动量的数值也是量子化的。


      轨道磁量子数


      量子力学基础课(下)1被称为轨道磁量子数,也叫磁量子数,它和波函数的方位角部分量子力学基础课(下)1有关。它决定了电子轨道角动量量子力学基础课(下)1在空间某一方向的投影,下面以x轴举例。

       

      自由空间是各向同性的,也就是说,同一大小的矢量转向不同方向,其效果是等价的。那么,x轴是可以取任意方向的,这一量子数看起来似乎没有什么实际意义。但假如把原子放到磁场中,由于原子具有磁矩,那么对于电子来说附近的空间便不再是各向同性的了,这时x轴就应该选取磁场方向。此时,量子力学基础课(下)1就决定了电子轨道角动量在量子力学基础课(下)1方向上的投影,这也是为什么量子力学基础课(下)1叫做磁量子数的原因。

       

      这一投影也是量子化的,由一般理论给出,这一投影的可能取值为

      量子力学基础课(下)1

      这也就意味着,电子的轨道角动量的指向是量子化的。因此这一现象叫做空间量子化。


      有必要指出,对于确定的量子力学基础课(下)1值,量子力学基础课(下)1是确定的,但是量子力学基础课(下)1就完全无法确定了。这是海森伯不确定性原理给出的结果。与量子力学基础课(下)1对应的空间变量是方位角量子力学基础课(下)1,因此根据海森伯不确定性原理给出,沿x方向,有

      量子力学基础课(下)1

      量子力学基础课(下)1的确定,意味着量子力学基础课(下)1,那么量子力学基础课(下)1只能取无穷大,即量子力学基础课(下)1是完全不确定的。这一结果可以用一模型理解,即电子到原子核的径矢绕x轴高速进动,那么这时量子力学基础课(下)1的时间平均值为零,也就不可能对其进行测量了。

       

      电子云


      当一个电子波函数的上述三个量子数都确定之后,我们可以把这个波函数记作

      量子力学基础课(下)1

      对于一个基态氢原子,其电子满足以下条件

      量子力学基础课(下)1

      此时它的波函数为

      量子力学基础课(下)1

      那么此状态下,电子的概率密度就为

      量子力学基础课(下)1

      这是一个球对称分布。

      在化学分析中,我们通常会用点的密度来表示电子的概率分布,那么以上电子的概率分布就可以形象地由下图来表示。

      量子力学基础课(下)1

      由于电子对应的德布罗意波是概率波,只能对其位置进行概率密度的描述,因此电子具体的位置是模糊不清的,所以通常把以上的图叫做“电子云”。

      有必要指出,上面提到的轨道角动量中所加的“轨道”二字是玻尔原子模型的产物,不能理解为是电子沿某一封闭轨道运动的角动量,而应当理解为“和位置变化相关的”角动量。

       

      次壳层


      当n=2时,l可以取1和0两个值,即存在以下两种状态

      量子力学基础课(下)1

      ①状态下,电子云的分布具有球对称性。量子力学基础课(下)1时,电子云的分布是完全一样的,它们与量子力学基础课(下)1的分布都具有关于量子力学基础课(下)1轴的对称性。

       

      对于一个孤立的氢原子来说,空间没有确定的方向,因此可以认为电子平均地在这三种状态之间往返。如果把三种状态下求出的概率密度加在一起,我们会发现,总和的概率密度也是球对称的。因此,我们把l=1的三个独立波函数归为一组。

       

      通常来说,量子力学基础课(下)1相同的波函数都可以归为一组,这样的一组叫做一个次壳层,其中电子概率密度的分布具有球对称性。我们习惯上把l=0,1,2…的次壳层命名为s,p,d…次壳层。

       

      壳层


      由上面提到的能量公式可以看出,氢原子的能量只与主量子数n有关,那么只要n相同,不同状态的能量都是相同的。这种现象叫做能级的简并,具有同一能级的各个状态叫做简并态。


      具有同一主量子数n的各个状态都可以归为一组,这样的一组叫做一个壳层。我们习惯上地把量子力学基础课(下)1的各个状态依次命名为量子力学基础课(下)1壳层,主量子数为n的壳层内共有n个次壳层。

       

      概率密度


      概率密度是用于描述一个粒子出现在空间某处的概率大小的量。由于原子核内,库仑场势能具有球对称性,因此需要描述电子在原子内的概率分布,只需要求出概率密度关于径向距离的函数就可以了。因此我们通常需要求解径向概率密度。给径向概率密度量子力学基础课(下)1下定义——在半径为量子力学基础课(下)1的两个球面之间体积内,电子出现的概率密度为量子力学基础课(下)1

       

      对于基态的氢原子,取微分则有

      量子力学基础课(下)1

      量子力学基础课(下)1

      此式表示的径向概率分布曲线如下。

      量子力学基础课(下)1

      图中求得的极大值出现在r=a0处,即可以理解为,电子出现在距离核a0的位置上的概率最大,这正好符合了玻尔对氢原子电子轨道量子化的观测结果。

       

      类似地,可以由同样的方法对不同能级、状态的电子云进行求解,并解析相应的电子云分布,这里就不再赘述了。


      剩下的我们下期继续介绍。

      参考引源:

      《大学物理学》(张三慧等),《新概念物理教程》(赵凯华等),Feynman Lectures on Physics, Learning Notes on Quantum Mechanics(Leng Xuan),Introduction to Quantum Mechanics(David J. Griffiths),Wikipedia,bilibili等。

      图片来源:

      百度图片,Google Images, 《大学物理学》(张三慧等)。

      【本文为耀星会的原创作品,未经允许,禁止盗用、转载、篡改文章,否则耀星会和作者将追究版权责任。】

      更多科普资源和答疑,请加入耀星会科普官方QQ群:815170175

    • 生成海报
    • Lv.8仄米空洞
      靓号:1956
      9周年🎂
      科学本身并不全是枯燥的公式,而是有着潜在的美和无穷的趣味,科学探索本身也充满了诗意——周培源
      回复
      Lv.4超幺米空洞
      哈勃
      打赏了1金币
      回复
      Lv.44猫眼星云
      飞越太阳系
      学习量子力学
      回复
      Lv.44猫眼星云
      飞越太阳系
      知识让我们永远学习~
      回复
      Lv.44猫眼星云
      飞越太阳系
      [s-8]
      回复

      请登录之后再进行评论

      登录

      赞助商

    • 相互支持,合作共赢 Win-Win Cooperation

      邀请好友加入【博科园】有奖励啦♪

    • 任务
    • 偏好设置(换皮肤)
    • 到底部
    • 帖子间隔 侧栏位置:
      关闭窗口
      下载海报