科普驿站 第八十六期
科目：物理
难度：B1
讲师：莫特相变的皮卡丘
1 导体与绝缘体
常见的物质中，按照导电性通常大致可以分为两类：一类导电性好的叫做导体，而另一类导电性相对较差的叫做绝缘体，然而材料的电阻并不是一成不变的。这里简单介绍一下导电的原理。最简单的情况，组成物质的原子或者分子有规律性排列，也就是大家所熟知的晶体。晶体中的电子拥有能量，形象地说，这些电子会发生运动，因而具有动能；另外这些电子被带正电的原子核所吸引，同时电子彼此之间会相互排斥，因而在电场中具有势能。为简化内容，这里我们只考虑这两种能量：动能与势能。
大家有没有想到什么宏观的例子？弹簧振子。是这样的，研究晶体时，我们就会将晶格——也就是晶体中原子/分子排布周期的最小单元——进行抽象分析。由于最轻的氢原子核质量都是电子的一千多倍，因此假定晶格原子是固定不动的，电子像一个个弹簧振子那样拴在上面，这样就可以将电子的能量转换为力学所计算过的内容了。然后我们将量子力学带入单个晶格，再考虑到晶体的平移对称性，就可以计算出这种材料中，电子的能量分布情况。这些电子能量拥有一定的范围。为了形象，我们常把这些能量画成水平线，能量高的居上，能量低的居下。最后得到的结果通常是：电子的能量分布会形成带状结构。
这是因为泡利不相容原理，使得电子的量子数不能完全相同，从而导致能级分裂，从而将单一的能量展宽为带状。这就叫做能带。被电子完全填满的能带叫做满带，未完全充满则叫做导带，不包含电子就叫做空带。对于一个稳定的系统，能量应该尽可能低，这叫做能量最低原理，正是化学课所学的内容。根据此原理，电子应当首先填满能量较低的能带。
图 1 不同材料的能带结构
那么什么样的能带可以形成电流呢？显然满带已经充满电子了，根据泡利不相容原理，没办法再挤一个新的电子进去。然后空带就没有电子，自然无法形成电流。所以导电的部分在于导带。以Li为例。Li的核外电子排布为
，含有一个2s价电子，而2s轨道可以容纳两个电子。所以n个Li原子形成固体时，由于泡利不相容原理，2s轨道分裂为了n个能级，可以容纳2n个电子，但只填充了n个电子，因此称为未充满的导带，从而具有导电性。
有了能带，区分绝缘体、导体与半导体就很顺理成章了。从图上可以看出，对于一部分材料，价带为本身就为导带，或者价带是满带，但与空带之间的间隔（带隙）很小或者存在重合，这就意味着，这样的材料为导体。而对于价带是满带，并且带隙较大的情况，价带电子即使获得很高的能量，也难以到达空带，从而大多数情况是不能导电的，即为绝缘体。处在两者中间的是半导体，半导体的带隙比绝缘体窄，在某些特定情况下价带电子能获得能量跃迁到空带，因而在某些特定场合可以导电，例如光照、受压等。
2 导电性与温度的关系
温度与能量有密不可分的关系——事实上，温度在微观上就是由分子的运动所定义的。那么当温度改变时，材料的导电性会发生什么样的变化呢？考虑到温度上升时，组成材料的原子或者分子的热运动加剧，造成能带各部分展宽。通常来说，对于价带原本就没充满的导体，展宽后，低能级电子想要达到高能级需要吸收的能量更多，实质上就是导电变困难了。而对于价带为满带的绝缘体，能带展宽后，满带顶部到空带底部的距离实际上是缩短了，也就意味着低能级电子进入高能级所需要吸收的能量更少，实质上就是导电便容易了。所以我们可以定性地得出结论，在一定的温度范围内，电阻随着温度的上升而增加的材料是导体，随着温度上升而下降的材料是绝缘体。
那么，我们可以很自然地想到，如果温度增加的幅度太大了，会怎么样呢？讨论极端高的温度是没有意义的，因为材料或早或晚都液化或者气化了（相变）。那么降温呢？考虑到自然界的温度有一个下限，也就是热力学0度（-273.15℃）。那么在这样的情况下，导体的电阻会怎么样呢？有三种可能：
– 电阻持续下降，并且趋向于0；
– 电阻持续下降，最后趋向于一个非0的数值；
– 电阻先下降，后上升。
电阻降到0的想法很容易理解，这是由杜瓦提出的，这位物理学家最伟大的发明是杜瓦瓶，实际上就是现在的热水壶。大家可别小瞧它，热水壶的结构包括真空隔层、镀银/铝的反射膜，完美地隔绝了传热的三种方式：非接触的真空隔层避免了热传导、热对流，而反射膜阻止了热辐射。杜瓦当然不是从能带论的角度出发理解电阻的，他认为接近绝对0度时电子的运动将不会受到阻碍。而电阻趋于非0的想法是由一位叫做马西森的人提出的，这位物理学家认为金属中会存在杂质，杂质将使得电阻不会降低到0。第三个想法最为大胆，认为电阻将上升，看起来很不可思议。这个想法是赫赫有名的开尔文提出来的，就是那位被用来给热力学温度单位命名的物理学家。开尔文认为低温会把电子“冻住”，从而参与导电的电子大幅度减少，使电阻上升。这三个说法其实都有一定的道理，那么哪一个才是与实际相符的呢？很遗憾，都不是。
3 什么是超导
同样归功于杜瓦的发明，也就是人类可以肆无忌惮地使用温度极低的液态氦——只要实验室能担负这一笔不菲的费用。液态氦是首先由荷兰的昂内斯于1908年7月10日制备出来的，这位物理学家和他的同事一直致力于解决之前提到的低温电阻问题。他们首先用铂做了实验，结果发现铂的电阻变化与马西森理论相符：随着温度的降低，铂的电阻趋于稳定。他们以此发表了论文。做到这里，大家是否觉得，这个悬案解决了呢？实际上，马西森的理论本来就有一个bug：如果非0的电阻是由杂质产生的，那么尽可能去除杂质，电阻会怎么样呢？
很显然昂内斯也是这样想的。当时人类可以获得的最纯净金属是汞，因为这一液态金属蒸馏起来很方便。于是在1911年4月的一天，昂内斯的助手突然发现，降温到4.2K的时候，Hg的电阻消失了。
图 2 惠斯通电桥的示意图
先介绍一下惠斯通电桥，这个电桥是精密测量电阻的一个方法，不妨假定其中的R1与R2是可变电阻。如果观察到电压表G的示数为0，则说明电桥平衡，就可以按照比例算出未知电阻Rx的阻值。现在大家正在做实验，然后发现，对于一个“理论上”不为0的电阻，无论怎么调节R1与R2的数值，G的示数都是0。大家会觉得发生了什么？
对！Rx一定是短路了。挑战传统不但需要勇气，还需要对传统的知识有极好的掌握才行。这位助手折腾了好几天，发现一旦升温，短路就消失，降温到4.2K以下，短路就突然出现，这实在是从来都没有人想象过的诡异事件。然后昂内斯起初也不相信，自己去折腾了好久，最后不得不服从于现实。昂内斯于当月28日发表文章指出了这一点，当时以为这是汞的特殊性质。在接下来的两年里，昂内斯对其他种类的材料进行了实验，发现铅与锡都有电阻突然消失的性质。他在1913年得出了一个大胆的结论，认为金属在低温时会进入一种奇特的状态，直流电阻将消失。昂内斯将这种现象命名为超导，并因此获得同一年的诺贝尔物理学奖。
再引入两个问题：第一，为什么昂内斯后面选择了铅与锡做实验（同样是低沸点并且容易得到与操作的金属）？第二，电阻的突然消失，让你联想到了什么类似的现象？
没有直流电阻的超导很快掀起了一股超导热，当全世界都在研究电阻的时候，想必竞争是很激烈的。这时候一位德国青年科学家另辟蹊径，尝试研究超导体的磁性质，电与磁实质上是一家人。这位叫做瓦尔特·迈斯纳的年轻人显然熟知这一点。迈斯纳在1933年发现，将超导态的锡与铅放进磁场时，这些超导体会将内部的磁力线完全排出来。怎么看出来的呢？如果磁力线被排出来，超导小锡块就会受到磁场的排斥力，甚至可以悬浮在磁场中。但当外加磁场强度不断增大的时候，这效应将被破坏，超导体变回普通导体。这个效应被归纳为，在磁场强度不超过临界值 的时候，超导体将完全排出内部的磁力线，称为迈斯纳效应。（磁场强度是另一个物理量，磁感应强度则同时包含了磁场强度以及磁场在介质中所激发的计划磁场强度，即
）。迈斯纳效应与零电阻是判断材料是否为超导体的两个重要因素。
参考资料：
第1部分，能带的介绍，详见黄昆《固体物理》
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