• 注册
  • 数学分析 数学分析 关注:608 内容:3

    误差分析

  • 查看作者
  • 打赏作者
  • 当前位置: 博科园 > 数学 > 数学分析 > 正文
    • 11
    • Lv.17伽马射线
      高考加油
    • 博科园AI人工智能助手 图灵
      [ AI在线 ]
      __
    • 我们知道,当x^2i收敛时,幂级数

      误差分析

      如果令x=sinθ,则有

      误差分析

      即sin²θ sin⁴θ sin⁶θ …=(1-cos²θ)-1=tan²θ,sinθ≈θ,所以我将θ与sinθ代换,即

      θ²+θ⁴+θ⁶+θ⁸+…≈(1/cos²θ)-1=tan²θ.

      然后就有一个题:

      若θ=π/100,求cosθ和tan²θ的近似值.

      这里我先说明一下,为什么当θ足够小时(θ<π/36=5º)可认为sinθ≈θ,和那个常用幂级数,当然,证明的时候我尽量选取脍炙人口的方法:

      ①sinθ≈θ

      方法一:

      由泰勒公式得:

      sinθ=θ-(θ³/3!) (θ⁵/5!)-(θ⁷/7!) …

      其中n!=1×2×3×4×…×n

      显然当θ足够小可以取θ≈sinθ.

      方法二:

      sinθ与θ是同阶无穷小,即sinθ/θ在θ→0时,它的极限等于1,所以当θ足够小时,可取sinθ=θ

      ②∑下标i=1,上标∞,代数式sin²ⁱθ=1/cos²θ-1=tan²θ

      方法一(几何,这里相当于给等比数列求和极限找了一个几何表示):

      三角形朝一个方向无限做高,把分成的所有小三角形加一起来与原三角形面积相等,进行化简(它们都相似所以它们面积有规律)

      误差分析

      (就像这样,不断朝一个顶点方向做垂线,垂线会越来越密集)

      方法二(代数):

      首先

      an=sin²ⁿθ

      Sn=((an)q-a₁)/q-1

      即Sn=(sinθ)^(2n+2)-sin²θ/sin²θ-1

      数列收敛,所以可取极限

      n→∞,

      Sn=sin²θ/1-sin²θ

      =1-cos²θ/cos²θ=(1/cos²θ)-1

      =sin²θ/cos²θ

      =tan²θ.

      好了,序言讲完,接下来就是做题过程(你们先试着做一下,不全部算出来,用计算器算一下,并算一下误差):

      (1)cosθ:用计算机算得

      cos(π/100)≈0.999506560

      i.∵cos²θ sin²θ=1

        ∴cos(π/100)=√(1-sin²(π/100))≈√(1-(π-100)²)

      可用计算机算一下

      约等于0.999506398

      这里误差为1.62×10⁻⁷

      ⅱ.∵θ² θ⁴ θ⁶ …≈(1/cos²θ)-1

         ∴cos(π/100)≈√(1/1 (π/100)² (π/100)⁴ (π/100)⁶ …)

      我们先取第一项θ²

         即cos(π/100)≈√(1/1 (π/100)²)

                              ≈0.999506885

      误差3.25×10⁻⁷

            第二项θ⁴

            同理得cos(π/100)≈0.999506398

      误差为1.62×10⁻⁷

              此时我们的值居然和第一种方法惊人的一致,可以看出法一在这里明显要简单一点,当然,他们之间有没有什么关系,可以用数学软件作图探究(求和本来就是一种函数)

      (2)tanθ

      tan(π/100)≈0.031426266

      i.∵sin²θ/cos²θ=tan²θ,sin²θ cos²θ=1

        ∴

      tan(π/100)≈√((π/100)²/1-(π/100)²)

                       ≈0.031431441

          误差ε₁=5.175×10⁻⁵

      ⅱ.由上述可知

      tan(π/100)≈√((π/100)² (π/100)⁴ (π/100)⁶ …)

      我们可以分别取项算

      取一项ε₂=1.034×10⁻⁵

      取两项ε₃=0.516×10⁻⁵

      取三项ε₄=0.518×10⁻⁵

      取四项ε₅=0.518×10⁻⁵

      从这里可以看出,第二种方法显然比第一种方法估算精确形式也简单

      但是,第二种方法在第二项的时候却是估值最精确的,第三项第四项要比它大,这里可以用重要不等式x>sinx(x∈[0,1])来解释,该不等式可以构造函数求导证明

      所以当取的项越多,误差越大,最终会不会比ε₁还要大呢?

      这个问题就由读者自己回答了。

      谢谢大家!

    • 生成海报
    • Lv.8仄米空洞
      靓号:1956
      9周年🎂
      发达的科学技术是应当用来造福人类的,原子能应当为人类的进步服务——巴金
      回复
      Lv.26蚂蚁
      博科园VIP4
      靓号:12345
      9周年🎂
      打赏了6金币
      回复
      Lv.7顶夸克
      牛顿
      666 数学专业的吗? [s-70]
      回复
      Lv.7顶夸克
      牛顿
      赠送了礼物[棒棒糖]
      回复
      Lv.4超幺米空洞
      博科园VIP1
      图灵
      赠送了礼物[棒棒糖]
      回复
      Lv.43刺魟星云
      博科园VIP7
      冯·诺依曼
      我始终相信:人类历史上最壮美的诗篇,既不在游吟诗人激扬吟唱中,也不在剧作家或小说家奇幻的故事里,人类的奇迹是由科学书写的,科学的故事,更加壮观离奇,令人魂牵梦绕!
      回复
      Lv.43刺魟星云
      博科园VIP7
      冯·诺依曼
      打赏了3金币
      回复
      Lv.43刺魟星云
      博科园VIP7
      冯·诺依曼
      赠送了礼物[棒棒糖]
      回复
      Lv.44猫眼星云
      飞越太阳系
      赠送了礼物[棒棒糖]
      回复
      Lv.28蜂鸟
      博科园VIP6
      林奈
      [s-70]
      回复

      请登录之后再进行评论

      登录

      赞助商

    • 相互支持,合作共赢 Win-Win Cooperation

      邀请好友加入【博科园】有奖励啦♪

    • 任务
    • 偏好设置(换皮肤)
    • 到底部
    • 帖子间隔 侧栏位置:
      关闭窗口
      下载海报