科普驿站 第八十二期
科目：数学
难度：B1
讲师：萌萌哒小西瓜
第四部分：代数数
上一个部分中，我们已经完成了有理数的构造，现在我们沿着古人的路线（也是课本的路线），试着去得到实数——我们这个故事的终点。
从公元前五百年，毕达哥拉斯的得意门生希帕索斯第一次提出了√2是不是有理数开始，到19世纪末戴德金分割最后完整地定义了实数，前后两千余年波澜壮阔的历史，代数、几何、分析将轮番上场，一个个辉煌的名字将在这片舞台上依次出现，对数字的研究曾经是推动整个数学前行的巨大推手——而事实上直至今天，还有许许多多的问题没有解决。
别急，我们的好戏才刚刚开场。
希帕索斯的构造——第一个无理数
a^2+b^2=c^2
于是人们开始了研究二次方程的历程
x^2=a
很快，希帕索斯提出了一个重要的结论——x^2=2在有理数域上没有根。证明如下（这是一个神奇的证明，在每一本初中课本上都有，但更让人震惊的是居然很多人不会证，以至于这个经典的题目甚至能有资格在2017年上海交通大学的自主招生考试中，当时让我着实震惊许久）：
设x^2=2，假设x是有理数，则有最简整数比
x=p/q, (p,q)=1
那么
x^2=p^2/q^2 =2
于是
2|p
那么
4|p^2
所以必然
2|q
矛盾。
当年的人类只发现了有理数，这无疑是晴天霹雳。如果我们想要给每条线段都定义一个长度，那么两条直角边为1的三角形斜边肯定是一个数字——但这个数字不是有理数！最终，毕达哥拉斯的追随者们没有解决问题，只能解决了提问题的人——把希帕索斯扔入了大海之中……
域的扩张
假设我有两个域F和K，存在这样一个单映射f:F→K满足:
我们称f为F和K之间的单同态。其实这说明了F应该是跟K里面的一部分是一样的（严格的话说，同构的），或者说，F可以看做是K的一部分。于是我们称域K为域F的扩张。
而域扩张里最简单的扩张就是单扩张——任取x∉F，如果K是F的域扩张中包含x的最小那个，称之为单扩张，记作K=F(x)。
例如啊，我们可以验证Q(√2)={a+b√2|a,b∈Q}是Q的一个单扩张（这里我们代数的定义√2是方程x^2=2的一个根——但我们不讨论这个根是几，就形式上假设有这么个根）。留作证明答案略，读者自证不难。给个小提示，首先根据加法和乘法的封闭性，Q(√2)肯定得包括{a+b√2|a,b∈Q}，然后只要证明这是个域即可——只需要证明1/(a+b√2)也有x+y√2的形式即可。
同理，Q(∛2)={a+b∛2+c(∛2 )^2 |a,b,c∈Q}也是个单扩张。
这是一个有趣的话题，很多同学都会注意到形如a+b√2的东西关于加法和乘法是封闭的，并且挖掉0关于除法也封闭，但是很少有人能继续思考下去——但是Galois没有，他以此提出了整个抽象代数理论，一举解决化圆为方、三等分角、立方倍积、五次以上求根公式等上千年悬而未决的问题。
我们再做一个定义，α在F上代数，如果存在一个一元多项式
有f(α)=0，例如√2在Q上代数。
如果K的每个元素都在F上代数，则称K为F的代数扩张。
代数数域
在初中课本上，我们论证了√2是无理数（不是有理数），然后说，有理数和无理数共同组成了实数。现在有个问题，是不是所有无理数都是√2这样的形式呢——或者说，是不是实数R就是F的一个代数扩张呢？
很遗憾，不是的。如果我们把有理系数多项式的根（或者说整系数多项式的根）放在一起，构成的是代数数域，是复数域的子域，但和实数域并没有直接关系。（这里其实遗留了两个问题，供同学们思考：为什么整系数多项式的根的和还是整系数多项式的根，为什么整系数多项式的积还是整系数多项式的根。）
例如，虚数i（i^2=-1）是代数数，但不是实数；e、π是实数，但不是代数数。前者是显然的，后者的证明就很复杂了——因为本身e和π就很复杂。在下面的文章中，我们将构建一个强大的理论，论证代数数比实数少——甚至，我们可以证明你随便选择一个实数，是代数数的概率严格为0。
一切退回原点——我们知道了有无理数的存在，但好像还是寸步难行？代数的办法已经帮了我们很多了，现在，伟大的Cauchy出现了，他将为我们带来新的观察。
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